高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列背景图ppt课件

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1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用;2.能利用等差数列前n项和的函数特征求最值;3.掌握等差数列的各项的绝对值的和的求法.
基础落实·必备知识全过关
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等差数列前n项和的函数特征
名师点睛等差数列前n项和的最值的求法(1)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数,所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.(2)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数,所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.(3)若a1>0,d>0,则{Sn}是递增数列,S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则{Sn}是递减数列,S1是{Sn}的最大值.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(　　)(2){an}是等差数列,其前n项和为Sn,{|an|}的前n项和也是Sn.(　　)2.当一个数列的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R,且a≠0)满足什么条件时,数列的通项公式是分段形式?
提示由等差数列的前n项和的函数特征可知,当c≠0时,数列的通项公式是分段形式.
等差数列前n项和的性质
2.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍构成等差数列,且公差为m2d.3.设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则
4.若等差数列{an}的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),
5.若等差数列{an}的项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,
6.若{an}为等差数列,则S2n-1=(2n-1)an.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为3.(　　)(2)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则S3,S6,S9也成等差数列.(　　)2.在等差数列{an}中,S2=3,S4=6,则S6=　　　　　,数列的公差为d=　　　　　. 
解析 ∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴3+(S6-6)=2×3,得S6=9.∵(S4-S2)-S2=22d=0,∴d=0.
3.在等差数列{an}中,若a4=10,则S7=　　　　　. 
解析 由S2n-1=(2n-1)an,可知S7=7a4=70.
探究点一等差数列前n项和的性质及其应用
【例1】 (1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为　　　　　. 
分析 根据题目的特征,选择相应的性质求解.
解析 (方法1)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.
即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.
规律方法　利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时,先利用已知条件求出a1,d,再求所求,是基本解法(有时运算量大些).(2)如果利用等差数列前n项和的性质或利用等差数列通项公式的性质,可简化运算,为最优解法.(3)设而不求,整体代换也是很好的解题方法.
探究点二 等差数列前n项和的最值
【例2】 在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9.请问数列{an}的前多少项和最大?
解 (方法1)设数列{an}的公差为d,∵a1=25,S17=S9,
故该数列的前13项和最大,最大值是169.
(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=25>0,∴当n≤13时,an>0;当n≥14时,an<0.∴数列的前13项和S13最大.
(方法4)由方法1,得数列{an}的公差d=-2.
故当n=13时,Sn有最大值.故数列的前13项和S13最大.
规律方法　求等差数列前n项和的最值的方法
[提醒]一个等差数列的前n项和存在最值的条件:一般地,在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则其前n项和Sn有最大值;若a1<0,d>0,则其前n项和Sn有最小值.
变式训练在数列{an}中,an=3n-12,求数列{an}的前n项和Sn的最小值,并指出何时取最小值.
探究点三 求数列{|an|}的前n项和问题
【例3】 若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.分析根据题意求出数列的通项公式,根据通项公式,求出项的正负,根据项的正负,去掉绝对值号后求和.
变式探究在本例中,若将条件改为“等差数列{an}的通项公式为an=3n-23”,求数列{|an|}的前n项和Tn.
规律方法　已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的方法:先根据通项公式判断{an}的各项的正负,然后去掉绝对值号,转化为等差数列的求和问题.要注意转化的等价性.
1.知识清单:(1)等差数列前n项和的函数特征;(2)等差数列前n项和的性质.2.方法归纳:性质转化法求解基本量,前n项和最值的求法,分类转化法求{|an|}的前n项和.3.注意事项:等差数列前n项和的性质与通项公式的性质的区别,利用二次函数性质求最值要注意n是正整数的限制,求{|an|}的前n项和分类讨论去掉绝对值后,要注意分段求解.
1.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11,则a1=(　　)A.18B.20C.22D.24
解析 由S10=S11,得a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn,若a7的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是(　　)A.S7B.S8C.S13D.S15
3.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则实数λ的值是　　　　　. 
解析 等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn(a,b∈R),故λ=-1.
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若公差d<0,且a5>0,a6<0,则当Sn取得最　　　　　值时,n的值为　　　　　. 
解析 因为公差d<0,所以数列是递减数列.结合a5>0,可知a1>0,因此Sn有最大值S5,所以n=5.
5.等差数列{an}的前n项和为Sn,若 =2,则数列{an}的公差d=　　　　　. 
解析 因为S5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3=5a3,S3=a1+a2+a3=(a1+a3)+a2=3a2,