2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（下）月考数学试卷（2月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（下）月考数学试卷（2月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区九年级（下）月考数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，2.  下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有个，黄球有个，黑球有个幸幸从中任意摸一个球，下面说法正确的是(    )A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大
C. 不可能是黑球 D. 摸出黄球的可能性最小4.  已知的半径是，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是(    )A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断5.  将一元二次方程化成的形式，下列变形正确的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线的解析式为(    )A.  B.  C.  D. 7.  某种动物活到岁的概率为，活到岁的概率为，则现年岁的这种动物活到岁的概率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  点，都在上，若，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，放置在直线上的扇形由图滚动无滑动到图，再由图滚动到图若半径，，则点所经过的最短路径的长是(    )

 A.  B.  C.  D. 10.  无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是(    )A.  B.  C. 或 D. 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______。12.  一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在白色区域的概率是______ ．
 13.  电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则 ______ ．14.  有一直径为的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径        ．
 15.  如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；其中正确结论有        填写所有正确结论的序号．
 16.  如图，已知四边形中，，，对角线，则的最大值为______ ．
 三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知关于的一元二次方程的其中一个根为，求的值及方程的另一个根．18.  本小题分
如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，且于点，求的度数．
19.  本小题分
卡塔尔世界杯正在激烈进行中，吉祥物“拉伊卜”凭借可爱的造型受到网友喜爱．如图分别是年和年世界杯的吉祥物和会徽图案，军军制作了张正面分别印有这四个图案的卡片卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同，这张卡片分别用字母，，，表示，并将这张卡片正面朝下洗匀．
军军从中随机抽取张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是______；
军军从这张卡片中任意抽取张卡片，再从剩下的卡片中任意抽取张卡片，请利用画树状图或列表法，求抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的概率．

 20.  本小题分
如图，在中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为，延长交于点．
求证：是的切线；
若，，求的长．
21.  本小题分
如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点经过、、三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图保留连线痕迹

在图中的上画一点，使；
在图中过、、的圆上找一点，使平分．22.  本小题分
如图，抛物线，是某喷水器喷出的水抽象而成，抛物线由抛物线向左平移得到，把汽车横截面抽象为矩形，其中米，米，米，抛物线表达式为，，且点，，，，均在坐标轴上．
求抛物线表达式．
求点的坐标．
要使喷水器喷出的水能洒到整个汽车，记长为米，直接写出的取值范围．
23.  本小题分
如图，点为等腰直角内一点，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
变式：
如图，点为等腰直角外一点，，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
拓展：
如图，，，以为边作等腰，，直接写出的最大值．

 24.  本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，是抛物线顶点．

直接写出抛物线的函数解析式；
如图，点在抛物线上，若直线经过外接圆的圆心，判断的形状并求点的横坐标；
以点为圆心的与轴相切且与抛物线只有两个公共点，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：一元二次方程可得，
一次项系数和常数项分别为，；
故选：．
先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．2.【答案】 【解析】解：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．3.【答案】 【解析】解：从中任意摸出一个球，有可能是红球，有可能是黄球，有可能是黑球，由红球有个，黄球有个，黑球有个，所以摸出红球的概率最大，摸出黑球的概率最小；
故A、、选项说法错误；
故选：．
根据概率的相关概念可进行排除选项．
本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键．4.【答案】 【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为，
，即：，
直线与的位置关系是相交．
故选：．
根据圆的半径和圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案．
本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．5.【答案】 【解析】解：，
，
配方得：，
即，
故选：．
移项后配方，变形后即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．6.【答案】 【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
则该抛物线向右平移个单位长度后的顶点坐标是，
所以所得新抛物线的解析式．
故选：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．7.【答案】 【解析】解：现年岁到这种动物活到岁的概率为，
故选：．
直接根据概率公式进行求解即可．
本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：对于函数，，可知其图象开口向上，对称轴为，
则当，即当时，如图，

此时点，关于直线对称，故；
当时，如图，

此时点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，随着的增大而减小，随着的增大而增大，故；
当时，如图，

此时函数值随着的增大而增大，点在点左侧，故．
综上所述，若，则的取值范围是．
故选：．
由函数解析式可知，其图象开口向上，对称轴为当时，点，关于直线对称，故；当及时，结合图象确定点，的位置，然后比较即可获得答案．
本题主要考查了二次函数的图象上点的坐标，理解并掌握二次函数的图象与性质是解题关键．9.【答案】 【解析】解：如图，

点的运动路径的长的长的长

，
故选：．
利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10.【答案】 【解析】解：当时，若，直线与直线没有交点，不合题意．
当时，二次函数为：．
由得：．

．
无论为何值，，
．
直线与抛物线总有公共点，
符合题意．
故排除，．
当时，二次函数为：．
由得：，
．
直线与抛物线总有公共点．
符合题意．
故排除．
故选：．
将交点问题转化为方程解的问题求解．
本题考查二次函数与一次函数的交点问题，取特殊的值，将交点问题转化为方程解的问题是求解本题的关键．11.【答案】 【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为。
故答案是：。
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答。
本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数。12.【答案】 【解析】解：由图形可得该小球停留在白色区域的概率是，
故答案为：．
用白色区域的面积整个图形的面积即可得出答案．
本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，
列方程得：，
，
解得：舍去，．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．
故答案为：．
设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有台电脑被感染，然后可列方程进行求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，题目比较典型，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．14.【答案】 【解析】解：连接，作于点．

则，，
则，
．
则扇形的弧长是：，
根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
连接，作于点，利用三角函数以及垂径定理即可求得的长，然后利用扇形的弧长公式即可求得弧长，然后利用圆的周长公式即可求得半径．
本题考查了扇形的弧长公式，垂径定理，正确求得的长是关键．15.【答案】 【解析】解：函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故错误；
二次函数的图象与轴的交点在的下方，对称轴在轴右侧，
最小值：，
，
，故正确；
图象与轴的交点在和之间，

，
，
，
，故正确；
综上所述，正确的有，
故答案为：．
根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断；根据对称轴得到函数图象经过，则得的判断；利用，可判断；从图象与轴的交点在和之间可以判断的大小得出的正误．
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．16.【答案】 【解析】解：如图所示，作的外接圆，连接并延长至圆上于点，连接，

点恒在优弧上，
当经过圆心时取得最大值，
，经过圆心，即为的直径，有，
点、、在同一直线上，
，
是等边三角形，
，，
为的中点，
且为的角平分线，
故为直角三角形，且，
，
；
故答案为．
如图所示，作的外接圆，连接并延长至圆上于点，连接，由题意易得当经过圆心时取得最大值，然后可得点、、在同一直线上，则有是等边三角形，进而可得，最后问题可求解．
本题主要考查圆的基本性质、含度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质、含度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．17.【答案】解：关于的一元二次方程的一个根是．
满足关于的一元二次方程，
，
解得，；
方程为，
，
解得，，．
方程的另一根是． 【解析】根据一元二次方程的解的定义，将代入于的一元二次方程，求得的值；然后利用因式分解法求得方程的解，即可求得另一个根．
本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．18.【答案】解：由旋转的性质可得，
，
，
，
，
． 【解析】根据旋转的性质可得，由题意可得，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
本题主要考查旋转的性质，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．19.【答案】
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的结果有种，即、，
抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的概率为． 【解析】解：军军从中随机抽取张卡片上的图案是吉祥物“拉伊卜”的概率是，
故答案为：；
见答案
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中抽取的张卡片上的图案都是吉祥物的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率、概率公式等知识；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．20.【答案】证明：如图，连接，则，

，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：如图，过点作，

则，，
，，


四边形是矩形，
，，
，设，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
解得，，舍去，
，
． 【解析】连接，根据，，推出，得到，根据，推出，得到是的切线；
过点作，得到，根据，，推出四边形是矩形，得到，，设，，得到，，根据勾股定理得到，解得，，得到，推出．
本题主要考查了等腰三角形，圆的切线，垂径定理，矩形，勾股定理等，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，圆的切线判定和性质定理，垂径定理，矩形判定和性质，勾股定理解直角三角形．21.【答案】解：找到格点，使得，连接并延长，交于点，如图：

则点即为所求；
连接，找到格点、，使得、，连接，交圆于点连接，则即为所求，如图：
 【解析】根据垂径定理，即可求得点；
作线段的垂直平分线，交圆于点，连接即可．
此题考查作图设计与应用作图、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理，几何作图是解题的关键．22.【答案】解：把代入，
得：，
，
把代入，
解得，
抛物线表达式：，
当时，即，
解得：，
，
抛物线表达式：；
，
、的纵坐标为，
，
解得：，，
点的纵坐标是，
抛物线是由抛物线向左平移米得到的，
抛物线表达式为：，
把代入，
得：，
解得，舍去，
，
由可得点坐标为，
，
由得把代入，
得，舍去，
，，
，
． 【解析】分别把、点坐标代入解析式即可解答；
由题意易得抛物线是由抛物线向左平移米得到的，则有抛物线表达式为：，然后把代入求解即可；
由可得，又因为，即可解答．
本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．23.【答案】解：，理由如下：
如图，将绕点顺时针旋转得，与重合，点的对应点为点，则，，，，
，
，，
在和中，，，
；

，理由如下：
如图，在的延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
在和中，，，
；

将绕点顺时针旋转得，连接、，则，，，
，
，
当点、、三点在同一直线上时，最长，此时
的最大值为．
 【解析】将绕点顺时针旋转得，与重合，点的对应点为点，则，，，，进而得，，在和中，由勾股定理即可求得；
在的延长线上取一点，使得，连接，证≌，得，，从而，在和中，利用勾股定理即可求得；
将绕点顺时针旋转得，连接、，则，，，由勾股定理得，当点、、三点在同一直线上时，最长，即可求得的最大值．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，旋转的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键．24.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，
解得：，
抛物线的函数解析式为．

，
，
把代入，得，
，
，
，，，
，
是直角三角形，且，
是外接圆的直径，
设的中点为，
，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
解得：，，
点的横坐标为．
抛物线的关系式为：，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
点，
点在对称轴上；
设圆与轴的切点为，
当圆与抛物线相切时，如图所示：

此时与抛物线有两个交点，设切点的坐标为，
点在抛物线上，
，
，
，
，
，
，
抛物线与圆相切，
方程只有一个解，
，
解得：或；
当圆与抛物线相交，且抛物线与圆有两个交点时，如图所示：

此时，
即，
；
综上分析可知，的取值范围为，或． 【解析】利用待定系数法即可得出答案；
把二次函数的解析式化成顶点式，即可求得的坐标，令即可求得的坐标，利用勾股定理的逆定理可得，可知是直径，设的中点为，求的解析式，联立二次函数的解析式可得点的坐标；
求出圆的顶点坐标和对称轴，得出点在对称轴上，分圆与抛物线相切，圆与抛物线相交有两个交点两种情况，画出图形，求出的取值范围即可．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，勾股定理的应用，三角形的外接圆，切线的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．