2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在▱中，：：：的值可以是(    )

A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：：

6.  如图，在矩形纸片中，为上一点，将沿翻折至，若点恰好落在上，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列四个命题：平行四边形的两组对边分别相等；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那它们的逆命题是真命题的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，矩形的顶点是▱对角线的交点，顶点、分别在▱的边和对角线上，连接并延长交于点，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，，，，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，则四边形应具备的条件是(    )

A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分

10.  如图，在平行四边形中，，，，点为上一点，且：：，点关于的对称点为，连接、、，则的面积(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  若最简二次根式与能合并成一项，则______．

13.  边长为的等边三角形的面积是______ ．

14.  在中，，，边上的高为，则的面积是______ ．

15.  如图，在矩形中，，，点从出发，以沿运动，点从出发，以相同的速度沿运动，交于，作矩形，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，设运动时间为秒，当阴影部分的面积为时，的值为______ ．

16.  如图，点是线段上的一个动点，，且，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：

 

18.  本小题分
已知，求下列代数式的值：
；
 

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，是它的一条对角线，过、两点分别作，，、为垂足，求证：．

20.  本小题分
如图，某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行海里，“海天”号每小时航行海里，它们离开港口小时后分别位于、处，且相距海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

21.  本小题分
如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，在平行四边形中，点在边上，且点、、均为格点，、在小正方形内部仅用无刻度的直尺在给定的的网格中完成下列作图，保留作图痕迹，不写作法．
如图，直接写出的长为______ ；
在图中，在边上取一点，使；
在图中，在边上取一点使得平分；
如图，延长交网格线于，连接、，请作出的中位线，其中在上，在上．
 

22.  本小题分
在中，，，，分别是直线上两点．
如图，当，试推断、、之间的数量关系，并证明．

如图，当时，判断、、之间的数量关系，并证明．
 

23.  本小题分
问题背景如图，已知和为等边三角形，求证：．
尝试应用如图，已知为等边三角形，点是外一点，且，求线段、、的数量关系．
拓展创新如图，点是等边外一点，若，直接写出线段的长______ ．
 

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点分别是，，，，其中、满足，为轴上一动点．
求点的坐标．
如图，若为点右侧轴上一点，为中点，为的中点，判断的值是否发生变化，若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
如图，是上一动点，将绕点顺时针旋转至，连，在点运动过程中，的最小值为______ 直接写出结果

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，被开方数被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B. ，故原选项计算错误，不符合题意；
C. ，故原选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意．
故选：．
分别根据二次根式的加法、减法、乘法运算法则计算后，再进行判断即可得到答案．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
即和的数相等，和的数相等，且，
故选D．
根据平行四边形的性质得到，，，，根据以上结论即可选出答案．
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
 

6.【答案】 

【解析】解：在矩形纸片中，为上一点，将沿翻折至，
，，，，
，
，
设，则，
由勾股定理，得：，即：，
解得：；
；
故选：．
根据折叠的性质，得到，勾股定理求出，进而求出，设，则，再利用勾股定理进行求解即可．
本题考查矩形中的折叠问题．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：逆命题为：两组对边分别相等的四边形，是平行四边形，是真命题，故正确；
三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故正确；
如果一个三角形的三边长为，，，满足，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故正确；
综上，它们的逆命题是真命题的个数是个．
故选：．
写出逆命题，根据平行四边形的判定进行判断即可；写出逆命题，再进行判断即可；写出逆命题，根据勾股定理逆定理进行判断即可．
本题考查判断逆命题的真假．熟练掌握平行四边形的判定方法，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理逆定理，是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：矩形，，，
，，
；
▱，是对角线的交点，
，，
，
，
≌，
；
故选：．
证明≌，得到，勾股定理求出即可得解．
本题考查矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：要是四边形是矩形，应添加条件是对角线互相垂直，
理由是：连接、，两线交于，
根据三角形的中位线定理得：，，，，
，，
四边形一定是平行四边形，
，，
，
，
，
故选C．
根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，由矩形的判定定理可求解．
能够根据三角形的中位线定理证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形．掌握这些结论，以便于运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，，过点作，交的延长线于点，过点作于点，

则：，，
在平行四边形中，，，，
，，，
，
，
，
，
：：，，
，，
：：，
，
点关于的对称点为，设，交于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
；
故选：．
连接，，过点作，交的延长线于点，过点作于点，由平行四边形的性质得，，，然后根据勾股定理及三角形面积公式得，最后由对称的性质及三角形面积公式可得答案．
本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，含度的直角三角形，勾股定理．熟练掌握相关性质，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题主要考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查同类二次根式的概念，属于基础题．
根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于的方程，可得答案．
【解答】
解：，
由最简二次根式与能合并成一项，得
．
解得．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，等边三角形高线即中线，故D为中点，
，
，
，
等边的面积
故答案为：．
根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，即可解题．
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：当点在上时，如图：

由题意，得：，，，，
，
，
的面积是；
当点不在上时，如图：

由题意，得：，，，，
，
，
的面积是；
综上：的面积是或．
分是锐角和是钝角两种情况，进行求解即可．
本题考查勾股定理．解题的关键是画出图形，利用分类讨论的思想进行求解．
 

15.【答案】或 

【解析】解：在矩形中，，，
，，，
点从出发，以沿运动，点从出发，以相同的速度沿运动，运动时间为秒，
，，，
，，
矩形，
，
，，
，，
，
，，
过点作，，垂足为：，，

则：，，
，，
，，


，
当阴影部分的面积为时，
，
解得：，，
当点到达点时停止运动，
，
，，均满足题意；
故答案为：或．
利用表示出阴影部分的面积，列出方程进行求解即可．
本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，用含的代数式表示出阴影部分的面积，是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：作点关于线段的对称点，连接，，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图所示：
由轴对称的性质可知：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
当点与点重合时，则的最小值即为的长，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的最小值为；
故答案为：．
作点关于线段的对称点，连接，，交于点，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而可得，推出，勾股定理求出的长即可得解．
本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先化简各式，再合并同类二次根式即可；
先去括号，再根据二次根式的除法法则，进行计算即可．
本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．
 

18.【答案】解：，




；
，
，
，
，
． 

【解析】先将，进行分母有理化，然后根据完全平方公式，即可；
先将，进行分母有理化，再求出和的值，然后根据完全平方公式求出，再将所求式子变形为，再整体代入即可．
此题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．
 

19.【答案】证明：，，
，
是平行四边形的一条对角线，
，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】利用等积法证明，再根据，，证明，得出四边形是平行四边形即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质和判定进行证明．
 

20.【答案】解：由题意可得：海里，海里，海里，
，
是直角三角形，
，
“远航”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行，
，
“海天”号沿北偏西或西北方向航行． 

【解析】求出，的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向．
本题考查了勾股定理逆定理的应用，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
 

21.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
故答案为：；
如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求；
如图中，线段即为所求．

利用勾股定理解决问题即可；
取格点，连接交于点，点即为所求；
取格点连接，得到菱形，连接，交于点，连接，延长交于点，连接，可以证明垂直的角平分线，可得；
连接交于点，作出都是中点，连接，延长交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

22.【答案】解：，理由如下：
将顺时针旋转得到，

≌，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
在中，，
；
，理由如下：
将逆时针旋转，

，，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，
． 

【解析】利用旋转的性质得到≌，≌，再利用全等三角形的性质得到，，最后利用勾股定理即可解答；
利用旋转的性质得到≌，≌，再利用全等三角形的性质得到，，最后利用勾股定理即可解答．
此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】证明：和为等边三角形，
，，，
，
≌，
；
如图，在上截取，连接，

，
为等边三角形，
为等边三角形，
同法可得：≌，
，
；
如图，以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，

则：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，均为等边三角形，
同法可得：≌，
，
故答案为：．
证明≌，即可得出结论；
在上截取，连接，易得为等边三角形，同法可得，≌，进而得到，从而得到；
以为边，构造等边三角形，连接，过点作，交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，进而求出，的长，勾股定理求出的长，同法可得：≌，得到，即可得解．
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，
；

不变；
由可得：，，
为中点，
，
设，则：，
为的中点，
，即：，
，
；

过点作，交于点，则：，

将绕点顺时针旋转至，
，，
，，
，
≌，
，，
，
，
设，则：，，
，
，
，，
，
，
在上，
，
当时，有最小值为．
故答案为：．
利用二次根式的性质，求出，的值，进而求出点的坐标即可；
设，中点坐标公式求出点，的坐标，两点间距离公式，求出，，即可得出结论；
设，过点作，易证≌，进而表示出点坐标，利用两点间距离公式，表示出，进行求解即可．
本题考查坐标与图形．熟练掌握二次根式的性质，中点坐标公式，两点间的距离公式，以及配方法，是解题的关键．