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    2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区八年级(下)期中数学试卷(含解析)

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    2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区八年级(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区八年级(下)期中数学试卷(含解析),共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2022-2023学年湖北省武汉市蔡甸区八年级(下)期中数学试卷一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.  在实数范围内有意义,则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列二次根式中,是最简二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列计算正确的是(    )A.  B.
    C.  D. 5.  中,的值可以是(    )A.  B.  C.  D. 6.  如图,在矩形纸片中,上一点,将沿翻折至,若点恰好落在上,,则(    )A.
    B.
    C.
    D. 7.  下列四个命题:平行四边形的两组对边分别相等;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;如果直角三角形的两条直角边长分别为,斜边长为,那它们的逆命题是真命题的个数是(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图,矩形的顶点对角线的交点,顶点分别在的边和对角线上,连接并延长交于点,若,则的长为(    )
     A.  B.  C.  D. 9.  如图,分别是四边形四条边的中点,要使四边形为矩形,则四边形应具备的条件是(    )
    A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等
    C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分10.  如图,在平行四边形中,,点上一点,且,点关于的对称点为,连接,则的面积(    )A.
    B.
    C.
    D. 二、填空题(本大题共6小题,共18.0分)11.  计算: ______ 12.  若最简二次根式能合并成一项,则______13.  边长为的等边三角形的面积是______ 14.  中,边上的高为,则的面积是______ 15.  如图,在矩形中,,点出发,以沿运动,点出发,以相同的速度沿运动,,作矩形,当点到达点时停止运动,点也随之停止运动,设运动时间为秒,当阴影部分的面积为时,的值为______ 16.  如图,点是线段上的一个动点,,且,则的最小值是______
    三、解答题(本大题共8小题,共72.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.  本小题
    计算:

     18.  本小题
    已知,求下列代数式的值:

     19.  本小题
    如图,在平行四边形中,是它的一条对角线,过两点分别作为垂足,求证:
    20.  本小题
    如图,某港口位于东西方向的海岸线上,“远航”号,“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行海里,“海天”号每小时航行海里,它们离开港口小时后分别位于处,且相距海里,如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
    21.  本小题
    如图正方形网格中,每个小正方形的边长均为,每个小正方形的顶点叫做格点,在平行四边形中,点在边上,且点均为格点,在小正方形内部仅用无刻度的直尺在给定的的网格中完成下列作图,保留作图痕迹,不写作法.
    如图,直接写出的长为______
    在图中,在边上取一点,使
    在图中,在边上取一点使得平分
    如图,延长交网格线于,连接,请作出的中位线,其中上,上.
     22.  本小题
    中,分别是直线上两点.
    如图,当,试推断之间的数量关系,并证明.

    如图,当时,判断之间的数量关系,并证明.
     23.  本小题
    问题背景如图,已知为等边三角形,求证:
    尝试应用如图,已知为等边三角形,点外一点,且,求线段的数量关系.
    拓展创新如图,点是等边外一点,若,直接写出线段的长______
     24.  本小题
    在平面直角坐标系中,矩形的四个顶点分别是,其中满足轴上一动点.
    点的坐标.
    如图,若点右侧轴上一点,中点,的中点,判断的值是否发生变化,若不变,求出它的值;若变化,请说明理由.
    如图上一动点,将绕点顺时针旋转,连,在点运动过程中,的最小值为______ 直接写出结果

    答案和解析 1.【答案】 【解析】解:在实数范围内有意义,


    故选:
    根据二次根式有意义的条件解答即可.
    本题考查了二次根式有意义的条件,熟知二次根式的被开方数为非负数是解题的关键.
     2.【答案】 【解析】解:,被开方数被开方数中含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,不符合题意;
    B,被开方数被开方数中含能开得尽方的因数,不是最简二次根式,不符合题意;
    C被开方数含分母,不是最简二次根式,不符合题意;
    D是最简二次根式,符合题意;
    故选:
    根据最简二次根式的概念判断即可.
    本题考查的是最简二次根式的概念,被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.
     3.【答案】 【解析】解:,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
    B,能构成直角三角形,故本选项符合题意;
    C,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意;
    D,不能构成直角三角形,故本选项不符合题意.
    故选:
    根据勾股定理的逆定理:如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.如果没有这种关系,这个就不是直角三角形,逐一判定即可.
    本题考查了勾股定理的逆定理,在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.
     4.【答案】 【解析】解:不是同类二次根式,不能合并,故此选项计算错误,不符合题意;
    B. ,故原选项计算错误,不符合题意;
    C. ,故原选项计算错误,不符合题意;
    D. ,计算正确,符合题意.
    故选:
    分别根据二次根式的加法、减法、乘法运算法则计算后,再进行判断即可得到答案.
    本题主要考查了二次根式的混合运算,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
     5.【答案】 【解析】解:四边形是平行四边形,


    的数相等,的数相等,且
    故选D
    根据平行四边形的性质得到,根据以上结论即可选出答案.
    本题主要考查对平行四边形的性质,平行线的性质等知识点的理解和掌握,能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键,题目比较典型,难度适中.
     6.【答案】 【解析】解:在矩形纸片中,上一点,将沿翻折至



    ,则
    由勾股定理,得:,即:
    解得:

    故选:
    根据折叠的性质,得到,勾股定理求出,进而求出,设,则,再利用勾股定理进行求解即可.
    本题考查矩形中的折叠问题.熟练掌握矩形的性质,折叠的性质,勾股定理,是解题的关键.
     7.【答案】 【解析】解:逆命题为:两组对边分别相等的四边形,是平行四边形,是真命题,故正确;
    三角形一边上的中线等于该边的一半,那么这个三角形是直角三角形,是真命题,故正确;
    如果一个三角形的三边长为,满足,那么这个三角形是直角三角形,是真命题,故正确;
    综上,它们的逆命题是真命题的个数是个.
    故选:
    写出逆命题,根据平行四边形的判定进行判断即可;写出逆命题,再进行判断即可;写出逆命题,根据勾股定理逆定理进行判断即可.
    本题考查判断逆命题的真假.熟练掌握平行四边形的判定方法,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,以及勾股定理逆定理,是解题的关键.
     8.【答案】 【解析】解:矩形


    是对角线的交点,





    故选:
    证明,得到,勾股定理求出即可得解.
    本题考查矩形的性质,平行四边形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,掌握相关性质,证明三角形全等是解题的关键.
     9.【答案】 【解析】解:要是四边形是矩形,应添加条件是对角线互相垂直,
    理由是:连接,两线交于
    根据三角形的中位线定理得:

    四边形一定是平行四边形,




    故选C
    根据三角形的中位线定理得到四边形一定是平行四边形,再推出一个角是直角,由矩形的判定定理可求解.
    能够根据三角形的中位线定理证明:顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形;顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形.掌握这些结论,以便于运用.
     10.【答案】 【解析】解:连接,过点,交的延长线于点,过点于点

    则:
    在平行四边形中,









    关于的对称点为,设交于点









    故选:
    连接,过点,交的延长线于点,过点于点,由平行四边形的性质得,然后根据勾股定理及三角形面积公式得,最后由对称的性质及三角形面积公式可得答案.
    本题考查平行四边形的性质,折叠的性质,含度的直角三角形,勾股定理.熟练掌握相关性质,添加辅助线,构造特殊图形,是解题的关键.
     11.【答案】 【解析】解:因为
    所以
    故答案为:
    根据算术平方根的定义计算即可.
    本题主要考查了算术平方根的定义,掌握算术平方根的定义是解题的关键.
     12.【答案】 【解析】【分析】
    本题考查同类二次根式的概念,属于基础题.
    根据二次根式能合并,可得同类二次根式,根据最简二次根式的被开方数相同,可得关于的方程,可得答案.
    【解答】
    解:
    由最简二次根式能合并成一项,得

    解得
    故答案为:  13.【答案】 【解析】解:如图,等边三角形高线即中线,故D中点,



    等边的面积
    故答案为:
    根据等边三角形三线合一的性质可得的中点,即,在直角三角形中,已知,根据勾股定理即可求得的长,即可求三角形的面积,即可解题.
    本题考查了等边三角形的性质,勾股定理在直角三角形中的运用,本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键.
     14.【答案】 【解析】解:当点上时,如图:

    由题意,得:


    的面积是
    当点不在上时,如图:

    由题意,得:


    的面积是
    综上:的面积是
    是锐角和是钝角两种情况,进行求解即可.
    本题考查勾股定理.解题的关键是画出图形,利用分类讨论的思想进行求解.
     15.【答案】 【解析】解:在矩形中,

    出发,以沿运动,点出发,以相同的速度沿运动,运动时间为秒,


    矩形





    过点,垂足为:

    则:





    当阴影部分的面积为时,

    解得:
    点到达点时停止运动,

    ,均满足题意;
    故答案为:
    利用表示出阴影部分的面积,列出方程进行求解即可.
    本题考查矩形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理.熟练掌握相关性质,用含的代数式表示出阴影部分的面积,是解题的关键.
     16.【答案】 【解析】解:作点关于线段的对称点,连接于点,连接,过点,交的延长线于点,过点,交的延长线于点,如图所示:
    由轴对称的性质可知:


    四边形是平行四边形,



    当点与点重合时,则的最小值即为的长,











    的最小值为
    故答案为:
    作点关于线段的对称点,连接于点,连接,过点,交的延长线于点,过点,交的延长线于点,由题意易得,则有,然后可得四边形是平行四边形,进而可得,推出,勾股定理求出的长即可得解.
    本题主要考查轴对称的性质、平行四边形的性质与判定、勾股定理及等腰三角形的判定和性质,熟练掌握轴对称的性质,是解题的关键.
     17.【答案】解:原式

    原式

     【解析】先化简各式,再合并同类二次根式即可;
    先去括号,再根据二次根式的除法法则,进行计算即可.
    本题考查二次根式的混合运算.熟练掌握二次根式的运算法则,是解题的关键.
     18.【答案】解:









     【解析】先将进行分母有理化,然后根据完全平方公式,即可;
    先将进行分母有理化,再求出的值,然后根据完全平方公式求出,再将所求式子变形为,再整体代入即可.
    此题考查了二次根式的化简求值,分母有理化,解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想,本题属于基础题型.
     19.【答案】证明:

    是平行四边形的一条对角线,



    四边形是平行四边形,
     【解析】利用等积法证明,再根据,证明,得出四边形是平行四边形即可.
    本题考查了平行四边形的性质和判定,解题关键是熟练运用平行四边形的性质和判定进行证明.
     20.【答案】解:由题意可得:海里,海里,海里,

    是直角三角形,

    “远航”号沿东北方向航行,即沿北偏东方向航行,

    “海天”号沿北偏西或西北方向航行. 【解析】求出的长,利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“海天”号航行方向.
    本题考查了勾股定理逆定理的应用,解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形,关键是从实际问题中抽象出直角三角形,难度不大.
     21.【答案】 【解析】解:由勾股定理得,
    故答案为:
    如图中,点即为所求;
    如图中,点即为所求;
    如图中,线段即为所求.

    利用勾股定理解决问题即可;
    取格点,连接于点,点即为所求;
    取格点连接,得到菱形,连接交于点,连接,延长于点,连接,可以证明垂直的角平分线,可得
    连接于点,作出都是中点,连接,延长于点,线段即为所求.
    本题考查作图应用与设计作图,勾股定理,三角形中位线定理等知识,解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.
     22.【答案】解:,理由如下:
    顺时针旋转得到






    中,






    中,

    ,理由如下:
    逆时针旋转



    中,





    中,



    是等腰直角三角形,



    中,
     【解析】利用旋转的性质得到,再利用全等三角形的性质得到,最后利用勾股定理即可解答;
    利用旋转的性质得到,再利用全等三角形的性质得到,最后利用勾股定理即可解答.
    此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形,正确作出辅助线是解决此题的关键.
     23.【答案】 【解析】证明:为等边三角形,




    如图,在上截取,连接


    为等边三角形,
    为等边三角形,
    同法可得:


    如图,以为边,构造等边三角形,连接,过点,交的延长线于点

    则:








    均为等边三角形,
    同法可得:

    故答案为:
    证明,即可得出结论;
    上截取,连接,易得为等边三角形,同法可得,,进而得到,从而得到
    为边,构造等边三角形,连接,过点,交的延长线于点,易得为等腰直角三角形,进而求出的长,勾股定理求出的长,同法可得:,得到,即可得解.
    本题考查等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
     24.【答案】 【解析】解:





    不变;
    可得:
    中点,

    ,则:
    的中点,
    ,即:



    过点,交于点,则:

    绕点顺时针旋转







    ,则:





    上,

    时,有最小值为
    故答案为:
    利用二次根式的性质,求出的值,进而求出点的坐标即可;
    ,中点坐标公式求出点的坐标,两点间距离公式,求出,即可得出结论;
    ,过点,易证,进而表示出点坐标,利用两点间距离公式,表示出,进行求解即可.
    本题考查坐标与图形.熟练掌握二次根式的性质,中点坐标公式,两点间的距离公式,以及配方法,是解题的关键.
     

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