人教A版 (2019)2.5 直线与圆、圆与圆的位置优秀课时训练

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2.5.2 圆与圆的位置关系
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：判断圆与圆的位置关系;求两圆交点的坐标；由圆的位置关系确定确定参数或范围；圆的公共弦；圆的公切线
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
两圆的位置关系
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；

外离 外切 相交 内切 内含

考点讲解



考点1：判断圆与圆的位置关系
例1．已知圆和，则两圆的位置关系是（       ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】C
【详解】由题意，知圆的圆心，半径.
圆的方程可化为，则其圆心，半径.
因为两圆的圆心距，故两圆外切.
故选：C.

【方法技巧】
由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案.
【变式训练】
【变式1】．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（       ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．
【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，
所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．
因为圆的圆心为，半径为，所以，
故，所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B．
【变式2】．已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（       ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解.
【详解】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，
两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交.
故选：B.
【变式3】．（多选）已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（       ）
A．外离 B．外切 C．内含 D．内切
【答案】ABD
【分析】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．
【详解】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含．
故选：ABD．

考点2：求两圆的交点坐标
例2．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x2+y2﹣4x﹣3＝0，x2+y2﹣4y﹣3＝0的交点的圆的方程为（       ）
A．x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0 B．x2+y2+6x+2y﹣3＝0
C．x2+y2﹣6x﹣2y﹣3＝0 D．x2+y2+6x﹣2y﹣3＝0
【答案】A
【详解】由解得两圆交点为与
因为，所以线段的垂直平分线斜率；MN中点P坐标为（1，1）
所以垂直平分线为y＝﹣x+2
由
解得x＝3，y＝﹣1，所以圆心O点坐标为（3，﹣1）
所以r
所以所求圆的方程为（x﹣3）2+（y+1）2＝13即：x2+y2﹣6x+2y﹣3＝0
故选：A
【方法技巧】
求出两个圆的交点，再求出中垂线方程，然后求出圆心坐标，求出半径，即可得到圆的方程．
【变式训练】

【变式1】．圆与圆的交点坐标为___________.
【答案】
【分析】将两个圆的方程联立，解方程组求解即可.
【详解】联立两个圆的方程：，方程带入，先得到
，在联立，得到，解得或，对应的值为或，于是得到两圆交点：.
故答案为：.
【变式2】．若一个圆经过点及圆与圆的交点，求此圆的方程．
【答案】
【分析】先求出圆与圆的交点坐标，进而设出圆的一般方程，代入点的坐标，用待定系数法进行求解.
【详解】联立与，解得：或，即两圆交点坐标为与，设圆的方程为：，将点坐标代入得：，解得：，所以此圆的方程为：.


考点3：由圆的位置关系确定确定参数或范围
例3．（多选）若圆与圆没有公共点，则实数a的值可能是（       ）
A．7 B． C．－2 D．1
【答案】AD
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径．
因为两圆没有公共点，所以两圆相离或内含，所以或，
所以或，解得或或0＜a＜2．
故选：AD
【方法技巧】
首先求出两圆的圆心和半径，然后由条件可得两圆相离或内含，由此可建立不等式求解.
【变式训练】
【变式1】．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】到点的距离为2的点在圆上，
所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，
即两圆相交，故，
解得或，
所以实数a的取值范围为，
故选：A．
【变式2】．“a＝3”是“圆与圆相切”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】当两圆外切时，a＝－3或a＝3；当两圆内切时，a＝1或a＝－1．再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】解：若圆与圆相切，
当两圆外切时，，所以a＝－3或a＝3；
当两圆内切时，，所以a＝1或a＝－1．
当时，圆与圆相切，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分条件．
当圆与圆相切时，不一定成立，
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的不必要条件．
所以“a＝3”是“圆与圆相切”的充分不必要条件．
故选：A
【变式3】．一个动圆Q与圆外切，与圆内切，试判断圆心Q的轨迹，并说明理由．
【详解】设动圆的圆心为Q（x，y），半径为R，
圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为9，
因为，所以圆在圆内，
因为动圆Q与圆外切，与圆内切，
所以动圆Q在圆内，，，
所以，
所以圆心Q的轨迹为以，为焦点，焦距为6，长轴为10的椭圆．

考点4：圆的公共弦
例4．已知圆C过圆与圆的公共点．若圆，的公共弦恰好是圆C的直径，则圆C的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题，圆，的公共弦为和的两式相减，化简可得，又到的距离 ，故公共弦长为，故圆C的半径为，故圆C的面积为
故选：B

【方法技巧】
求解圆，的公共弦方程，再计算圆中的公共弦长即可得圆C的直径，进而求得面积即可
【变式训练】
【变式1】．若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（       ）
A．
B．
C．中点的轨迹方程为
D．中点的轨迹方程为
【答案】C
【分析】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断A、B选项；由圆的性质可知直线垂直平分线段，进而可得到直线的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C、D选项；
【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，
即，
因为圆的圆心为，半径为1，
且公共弦AB的长为1，则到直线
的距离为，
所以，解得，
故A、B错误；
由圆的性质可知直线垂直平分线段，
所以到直线的距离
即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，
因此，
即，故C正确，D错误；
故选：C
【变式2】．已知圆与圆交于A、B两点，且平分圆的周长，则 的值为（       ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】由题知，弦所在直线方程为，且在弦所在直线上，进而得.
【详解】解：因为圆与圆交于A、B两点，
所以弦所在直线方程为，
因为圆的圆心为，平分圆的周长，
所以，在弦所在直线上，即，
所以.
故选：C
【变式3】．已知圆和圆交于两点，直线与直线平行，且与圆相切，与圆交于点，则__________．
【答案】4
【分析】由题可得，利用点到直线的距离公式可得，然后利用弦长公式即得.
【详解】由圆，可知圆心，半径为2，圆，可知圆心，半径为，
又，，
所以可得直线，
设，直线与圆相切，则。
解得，或，
当时，，
∴，
当时，，，故不合题意.
故答案为：4.

考点5：圆的公切线
例5．设圆，圆，则圆，的公切线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故选：B．
【方法技巧】
先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．
【变式训练】
【变式1】（多选）．已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（       ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O对称，即可知有两条公切线过原点O，另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出．
【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．
故选：ACD．
【变式2】（多选）．已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（       ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
【答案】ABC
【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.
【详解】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．
对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；
对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，
（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）
分别设两圆的圆心为,则
如图，所以，解得r＝3，故C正确；

对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．
故选：ABC
【变式3】．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，
即，解得，
所以的值为.
故答案为：.

知识小结


两圆的位置关系
圆，圆，两圆圆心距离
(1)两圆相离，则（2）两圆相外切，则（3）两圆相交，则
注：圆，圆相交，则两圆相交弦方程为：
（4）两圆相内切，则（5）两圆内含，则
特别地，当时，两圆为同心圆
巩固提升

一、单选题
1．圆与圆的位置关系为（       ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】由与圆，
可得圆心，半径，
则，且，
所以，所以两圆相交.
故选：A.
2．两圆与的公切线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】求得圆心坐标分别为，半径分别为，根据圆圆的位置关系的判定方法，得出两圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆，
可得圆心坐标分别为，半径分别为，
则，
所以，可得圆外离，
所以两圆共有4条切线.
故选：D.
3．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.
【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减
得：，即.
故选：B
4．若圆与圆有3条公切线，则正数（       ）
A．3 B．3 C．5 D．3或3
【答案】B
【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得.
【详解】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，
，
∴，又，
∴.
故选：B.
5．已知圆截直线所得的弦长为．则圆M与圆的位置关系是（       ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】根据垂径定理可得参数的值，再利用几何法判断两圆的位置关系.
【详解】由，即，
故圆心，半径，
所以点到直线的距离，
故，即，
解得：；
所以，；
又，圆心，，
所以，
且，
即圆与圆相交，
故选：B.
6．已知圆：和圆：有且仅有4条公切线，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意圆、相离，则，分别求圆心和半径代入计算．
【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径
根据题意可得，圆、相离，则，即
∴m∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
故选：A．
7．若圆上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆上，则r的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.
【详解】根据题意，圆的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆的方程为，根据题意，圆与圆有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．
又圆，所以圆与圆的圆心距为，所以只需，解得．故B，C，D错误.
故选：A.
8．直线与圆相交，所得弦长为整数，这样的直线有（       ）条
A．10 B．9
C．8 D．7
【答案】C
【分析】求出过定点的直线与圆的最短弦长为，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案.
【详解】直线过定点，圆半径为5，
最短弦长为，恰有一条，但不是整数；
弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去；
最长的弦长为直径10，也恰有1条；
弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条，
故选：C．
二、多选题
9．已知圆A、圆B相切，圆心距为10cm，其中圆A的半径为4cm，则圆B的半径为（       ）
A．6cm B．10cm C．14cm D．16cm
【答案】AC
【分析】根据两圆外切或内切求得圆的半径.
【详解】因为圆A与圆B相切包括内切与外切，设圆B的半径为rcm，所以或，即或．
故选：AC
10．已知，圆，，则（       ）
A．当时，两圆相交 B．两圆可能外离
C．两圆可能内含 D．圆可能平分圆的周长
【答案】AB
【分析】首先得出两圆的圆心和半径，然后将圆心距与半径之和、之差作比较，即可判断ABC，若圆平分圆的周长，则两圆的公共弦所在直线过点，然后通过计算可判断D.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，，
当时，，所以两圆相交，故A正确；
因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误；
圆的一般方程为，
所以两圆的公共弦所在直线方程为，
若圆平分圆的周长，则直线过点，
所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误；
故选：AB
三、填空题
11．若点，分别圆：与圆：上一点，则的最小值为______.
【答案】4
【分析】由几何关系求解
【详解】因为，所以两圆相离，所以的最小值为
故答案为：4
12．已知圆和圆，垂直平分两圆的公共弦的直线的一般式方程为___________.
【答案】
【分析】若要垂直平分两圆的公共弦，则该直线必过两圆圆心，求得两圆圆心即可得解.
【详解】圆和圆
的圆心分别为：和，
垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，
所以直线方程为，
整理可得：.
故答案为：.
13．若圆与圆相切，则实数a的值为___________.
【答案】或
【分析】由已知可得圆心距或，根据两点距离公式列方程求a的值.
【详解】圆的圆心为，半径为r，
圆的圆心为，半径为2r.
当两圆外切时，有，此时；
当两圆内切时，有，此时.
综上，实数a的值为或.
故答案为：或
14．若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线恒过定点M的坐标为__________．
【答案】
【分析】先求出公共弦所在直线方程，由公共弦AB的长为1结合圆中弦长公式求得，将直线转化为，解方程组即可求得定点坐标.
【详解】由和可得公共弦所在直线方程为，
即，由公共弦AB的长为1可得直线与圆相交弦长即为1，
又圆心到直线的距离，故，即，故直线
可化为，整理得，由，解得，
故定点M的坐标为.
故答案为：.
四、解答题
15．已知圆和圆．
（1）当时，判断圆和圆的位置关系；
（2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？
【答案】（1）圆和圆相交；（2）不存在.
【分析】（1）由题设写出圆、的圆心坐标及半径，并求出圆心距，根据与的大小关系，判断两圆的位置关系.
（2）假设存在实数m，根据两圆内含关系列不等式并求解，即可知参数m的存在性.
【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径，
圆的方程为，则，半径，
∴两圆的圆心距，又，
∴，故圆和圆相交．
（2）不存在．理由如下：
圆的方程可化为， 则 ，半径．而，半径．
假设存在实数m，使得圆和圆内含，则圆心距，即，此不等式无解．
故不存在实数m，使得圆和圆内含．
16．已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=4，圆O2的圆心为O2(2，1).
（1）若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
（2）若圆O1与圆O2交于A，B两点，且︱AB︱=2求圆O2的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】由已知可得，（1）由两圆外切，即半径和等于，即可得圆O2的方程；（2）由两圆交点弦与圆心连线的关系即可求圆O2的半径，进而得圆O2的方程；
【详解】由圆O1的方程知：且半径为2，所以，
（1）由圆O1与圆O2外切，则有圆O2的半径为，
∴圆O2的方程为；
（2）圆O1与圆O2交于A，B两点，有如下图示的几何关系，

∴结合已知，，，有，由（1）知，所以，故圆O2的半径，
∴圆O2的方程为；
【点睛】本题考查了圆的位置关系求圆的方程，属于基础题.