高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.1 两角和与差的余弦公式及其应用学案及答案

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(1)经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义．
(2)能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
(3)能运用上述公式进行简单的恒等变换.
2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
[教材要点]
要点 两角和与差的余弦公式
eq \x(状元随笔) (1)公式的特点：公式左边是差(和)角的余弦，公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和(差)式，可用口诀“余余、正正、号相反”记忆公式．
(2)两角差的余弦公式是三角函数公式的基础，要理解公式的推导方法，公式的应用要讲究一个“活字”，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如构造角β ＝(α＋β) －α，β ＝eq \f(α＋β,2) －eq \f(α －β,2)等．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对任意角α，β都有cs(α－β)＝cs αcs β－sin αsin β.( )
(2)存在角α，β使得cs(α－β)＝cs α－cs β.( )
(3)对任意角α，β都有cs(α＋β)＝cs αcs β＋sin αsin β.( )
(4)存在角α，β使得cs(α＋β)＝cs α＋cs β.( )
2．cs 75°＝( )
A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq \f(\r(6)－\r(2),4)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
3．cs 45°·cs 15°＋sin 45°·sin 15°等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
4．已知cs α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝________.
题型一 给角求值——自主完成
1．计算cseq \f(5π,12)cseq \f(π,6)＋cseq \f(π,12)sineq \f(π,6)＝( )
A．0 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
2．cs 63°sin 33°－sin 117°sin 57°＝________.
3.eq \f(cs 47°－cs 17°cs 30°,sin 17°)＝________.
方法归纳
两角差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．
题型二 给值求值——师生共研
根据平方关系由sin α求cs α，由cs β求sin β.
例1 已知sin α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，cs β＝－eq \f(5,13)，β是第三象限角，求cs(α－β)，cs(α＋β)．
变式探究1 将本例中的条件改为“α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＝eq \f(4,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)”，求cs β.
变式探究2 将本例中的条件改为“α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),3)”，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2))).
方法归纳
给值求值的解题策略
(1)利用两角差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的形式．
(2)常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＋β＝(2α＋β)－α，α＋β＝(α＋2β)－β，α＋β＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))等．
题型三 给值求角——师生共研
先求cs β，再利用公式cs β＝cs[(α＋β)－α]求解．例2 已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(10),10)，且0<β<α方法归纳
(1)要求角需先求这个角的三角函数值，然后根据范围得出角的值．
(2)已知一个角的正弦值(余弦值)求余弦值(正弦值)时，要根据角的范围确定其符号．
跟踪训练 已知sin α＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则β的值为________．
易错辨析 忽略三角函数值对角的范围限制致错
例3 若α，β均为锐角，sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β＝( )
A.eq \f(2\r(5),5) B.eq \f(2\r(5),25)
C.eq \f(2\r(5),5)或eq \f(2\r(5),25) D．－eq \f(2\r(5),25)
解析：∵α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(2\r(5),5)>sin(α＋β)＝eq \f(3,5).
∴α＋β为钝角，
∴cs(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β)＝－eq \f(4,5)，
cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(5),5).
∴cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(2\r(5),25).故选B.
答案：B
易错警示
§2 两角和与差的三角函数公式
2．1 两角和与差的余弦公式及其应用
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点
cs αcs β＋sin αsin β cs αcs β－sin αsin β
[基础自测]
1．(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．解析：cs 75°＝cs(30°＋45°)
＝cs 30°cs 45°－sin 30°sin 45°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)
＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，故选B.
答案：B
3．解析：原式＝cs(45°－15°)＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
答案：B
4．解析：因为cs α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2)＝eq \f(2\r(6),5).
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cs α cseq \f(π,3)＋sin αsineq \f(π,3)＝eq \f(1,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(2\r(6),5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1＋6\r(2),10).
答案：eq \f(1＋6\r(2),10)
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：原式＝cseq \f(5π,12)cseq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,12)))sineq \f(π,6)＝cseq \f(5π,12)cseq \f(π,6)＋sineq \f(5π,12)sineq \f(π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
答案：C
2．解析：原式＝cs 63°cs 57°－sin 63°·sin 57°＝cs(63°＋57°)＝cs 120°＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
3．解析：原式＝eq \f(cs17°＋30°－cs 17°cs 30°,sin 17°)
＝eq \f(cs 17°cs 30°－sin 17°sin 30°－cs 17°cs 30°,sin 17°)
＝－sin 30°
＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
题型二
例1 解析：∵sin α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，
又cs β＝－eq \f(5,13)，β是第三象限角，
∴sin β＝－eq \r(1－cs2β)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2)＝－eq \f(12,13)，
∴cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＋eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))
＝－eq \f(33,65)，
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))－eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))
＝eq \f(63,65).
变式探究1 解析：因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以0<α＋β<π，
由cs(α＋β)＝－eq \f(16,65)，
得sin(α＋β)＝eq \f(63,65)，
又sin α＝eq \f(4,5)，所以cs α＝eq \f(3,5)，
所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16,65)))×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325).
变式探究2 解析：∵0<α∴eq \f(π,4)<α＋eq \f(π,4)又∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1,3)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(3),3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(2\r(2),3)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq \f(\r(6),3)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(β,2)))
＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(\r(6),3)
＝eq \f(5\r(3),9).
题型三
例2 解析：因为0<β<α所以0<α＋β<π，
由cs α＝eq \f(\r(5),5)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(10),10)，
得sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3\r(10),10)，
所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(3\r(10),10)×eq \f(2\r(5),5)＝eq \f(\r(2),2).
所以β＝eq \f(π,4).
跟踪训练 解析：∵α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴α＋β∈(0，π)
∴cs α＝eq \r(1－sin2α)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),7)))2)＝eq \f(1,7)，
sin(α＋β)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))2)＝eq \f(5\r(3),14)，
∴cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,14)))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2).
又β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴β＝eq \f(π,3).
答案：eq \f(π,3)名称
简单符号
公式
使用条件
两角差
的余弦
C(α－β)
cs(α－β)＝
________________
α，β为任意角
两角和
的余弦
C(α＋β)
cs(α＋β)＝
________________
α，β为任意角
易错原因
纠错心得
忽略了sin α＝eq \f(2\r(5),5)>sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，没能判断α＋β的范围致错，错选C.
解答此类问题时，不仅要考虑已知角的范围，还要考虑由三角函数值对角的限制进一步缩小范围，否则容易出错.