数学必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用学案设计

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2．3　三角函数的叠加及其应用[教材要点]要点一　Cα＋β，Cα－β，Sα＋β，Sα－β的逆用cos αcos β＋sin αsin β＝________cos αcos β－sin αsin β＝________sin αcos β＋cos αsin β＝________sin αcos β－cos αsin β＝________要点二　辅助公式asin α＋bcos α＝______________(a，b不同时为0)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由sin φ＝和cos φ＝的值确定，也就是由tan φ＝来确定．[教材答疑][教材P149思考交流](1)f(x)＝sin x＋cos x＝sin，最大值是，最小值是－，周期是2π.(2)f(x)＝asin x＋bcos x(a，b不同时为0)＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝，最大值是，最小值是－，周期是2π.[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)sin x＋cos x＝2sin.(　　)(2)cos x－sin x＝cos.(　　)(3)函数y＝sin 2x－cos 2x的最小正周期为π.(　　)(4)函数y＝sin x－cos x的最大值为1.(　　)2．函数y＝3sin x＋4cos x的最大值为(　　)A．3　　　　　　　 　 　B．4C．5  D．63．函数y＝|sin x＋cos x|的最小正周期为(　　)A.  B.C．π  D．2π4．函数f(x)＝sin－cos的单调递增区间为________．  题型一　利用两角和与差的正、余弦公式、辅助公式化简——自主完成化简下列各式：1．sincos＋cossin.        2．3sin 2x－cos 2x.        3．2sin＋cos.         方法归纳 对化简的式子提系数，利用两角和与差公式的逆用或辅助公式化为形Asin(ωx＋φ)或Acos(ωx＋φ)的形式． 题型二　两角和与差的正、余弦公式与三角函数的综合运用——师生共研例1　已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin 2x＋a的最大值为1.(1)求实数a的值；(2)若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．                 跟踪训练1　[多选题]已知函数f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是(　　)A．直线x＝π是函数f(x)的图象的一条对称轴B．函数f(x)在上单调递减C．函数f(x)的图象向右平移个单位可得到y＝cos 2x的图象D．函数f(x)在上的最小值为－1
例2　已知函数f(x)＝sin 2x＋mcos 2x＋n(m>0)(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)设x∈，f(x)的最小值是1－，最大值是3，求实数m，n的值．                 跟踪训练2　已知定义在R上的函数f(x)＝asin ωx＋bcos ωx(ω>0)．若f(x)的最小正周期为π，且对一切x∈R，都有f(x)≤f＝4，求函数f(x)的表达式．      2．3　三角函数的叠加及其应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一cos(α－β)　cos(α＋β)　sin(α＋β)　sin(α－β)要点二　 sin(α＋φ)[基础自测]1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．解析：由辅助公式得y＝3sin x＋4cos x＝sin(x＋φ)＝5sin(x＋φ)，其中tan φ＝，所以最大值为5.答案：C3．解析：y＝|sin x＋cos x|＝2，所以它的最小正周期为π.故选C.答案：C4．解析：f(x)＝sin＝sin由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数的单调增区间为：，(k∈Z)．答案：，(k∈Z)题型探究·课堂解透题型一1．解析：原式＝sin＝sin x.2．解析：原式＝2＝2sin.3．解析：原式＝sin＝3sin，其中tan φ＝.题型二例1　解析：(1)f(x)＝sin＋sin 2x＋a＝cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a，∴2＋a＝1，∴a＝－1.(2)将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝f＝2sin－1＝2sin－1.∵x∈，∴2x＋∈∴当2x＋＝时，sin＝，g(x)取最大值－1.当2x＋＝时，sin＝－1，g(x)取最小值－3.跟踪训练1　解析：∵f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ＝cos(2x＋φ)的图象的一个对称中心为，∴cos＝0，则＋φ＝＋kπ，∴φ＝＋kπ，k∈Z.∵0<φ<，∴φ＝.则f(x)＝cos.∵f＝cos＝cos π＝－1，∴直线x＝π是函数f(x)的图象的一条对称轴，故A正确；当x∈时，2x＋∈，∴函数f(x)在上单调递减，故B正确；函数f(x)的图象向右平移个单位，得到y＝cos＝cos的图象，故C项错误；当x∈时，2x＋∈，∴函数f(x)在上的最小值为cos π＝－1，故D正确．故选A、B、D.答案：ABD例2　解析：(1)f(x)＝sin 2x＋mcos 2x＋n＝m＋n＝msin＋n.∵m>0，∴由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为，(k∈Z)．(2)当x∈时，2x＋∈，则sin∈，由题意知 解得m＝2，n＝1.跟踪训练2　解析：利用辅助角公式，可得f(x)＝sin(ωx＋φ)(其中tan φ＝)．又最小正周期T＝＝π，∴ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．∵对一切x∈R，都有f(x)≤f＝4，∴解得∴f(x)＝2sin 2x＋2cos x．即f(x)＝4sin.