北师大版高中数学选择性必修第一册1-1-4两条直线的平行与垂直课件

第一章内容索引自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑自主预习 新知导学一、两条直线平行1.(1)对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2), l1∥l2⇔ k1=k2 (k1,k2均存在).若直线l1与直线l2的斜率都不存在,则它们都是倾斜角为 的直线,从而它们互相 平行或重合 .(2)对于两条不重合的直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0),它们的法向量n1=(A1,B1),n2=(A2,B2),则l1∥l2⇔ A1B2-A2B1=0 .2.直线2x-y+1=0与直线4x-2y+1=0的位置关系是(　　).A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行也不重合解析:把两直线方程分别化为斜截式为y=2x+1,y=2x+ ,显然平行.答案:A二、两条直线垂直1.(1)对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔k1k2= -1 .特殊地,当l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,说明斜率不存在的直线与x轴垂直,因此,若l1⊥l2,则另一条直线与x轴平行或重合,即另一条直线的斜率为0.(2)已知两条直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全为0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全为0).l1⊥l2⇔ A1A2+B1B2=0 .2.已知直线l1,l2互相垂直,直线l1的方程为kx+(1-k)y-3=0,直线l2的方程为(k-1)x+(2k+3)y-2=0,则k等于(　　).A.-3或-1 B.3或-1 C.-3或1 D.3或1解析:l1⊥l2⇔k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0⇔(1-k)(k+3)=0⇔k=1或k=-3.故选C.答案:C合作探究 释疑解惑【例1】 判断下列各组直线的位置关系,并说明理由.(1)l1:3x+5y-6=0,l2:6x+10y+3=0;(2)l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0;(3)l1:x=2,l2:x=4;(4)l1:y=-3,l2:x=1.解:(1)设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,在y轴上的截距分别为b1,b2.将两条直线的方程分别化为斜截式:∵k1=k2,b1≠b2,∴l1∥l2. (2)设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.将两条直线的方程分别化为斜截式:(3)∵l1:x=2,l2:x=4,且两直线在x轴上的截距不相等,∴l1∥l2.(4)由题意,知l1⊥y轴,l2⊥x轴,则l1⊥l2.已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法(1)若两直线l1与l2的斜率均存在,则当k1k2=-1时,l1⊥l2;当k1=k2,且它们在y轴上的截距不相等时,l1∥l2.(2)若两直线斜率均不存在,且在x轴上的截距不相等,则它们平行.(3)若有一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,则它们垂直.【例2】 (1)当m为何值时,直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行?(2)已知直线l1:ax-y+2a=0与l2:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,求a的值.解得a=1.当a=0时,直线l1的斜率为0,l2的斜率不存在,两条直线垂直.综上所述,a=0或a=1.解法二:(1)若l1∥l2,则2×3-m(m+1)=0,解得m=-3或m=2.经检验,满足题意.故当m=-3或m=2时,直线l1∥l2.(2)∵直线l1与直线l2垂直,且A1=a,B1=-1,A2=2a-1,B2=a,∴A1A2+B1B2=0,即a(2a-1)-a=0,解得a=0或a=1.1.已知两条直线平行,求方程中的参数时,通常有两种方法:(1)讨论两条直线的斜率是否存在,分斜率存在和不存在两种情况,并结合截距是否相等进行分析求解;(2)直接将直线方程化为一般式,根据条件A1B2=A2B1,且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)建立关于参数的方程(组)进行求解.2.由两条直线垂直求直线方程中的参数时,通常有两种方法:(1)根据k1k2=-1建立方程求解,但应讨论斜率不存在的情况;(2)直接利用条件A1A2+B1B2=0求解.【例3】 已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.解法二:(1)设所求直线方程为3x+4y+C=0,∵点A(2,2)在直线上,∴3×2+4×2+C=0,∴C=-14,∴所求直线方程为3x+4y-14=0.(2)设所求直线方程为4x-3y+λ=0,∵点A(2,2)在直线上,∴4×2-3×2+λ=0,∴λ=-2,∴所求直线方程为4x-3y-2=0.过点P(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0平行或垂直的直线方程的求法有两种:(1)先求斜率(斜率存在时),再用点斜式求直线方程.(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+n=0,再利用所求直线过点P(x0,y0)求出m或n,便可得到直线方程.【例4】已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判断▱ABCD是不是菱形.解:(1)设D(a,b),直线AB,CD,AD,BC的斜率分别为kAB,kCD,kAD,kBC.∵四边形ABCD为平行四边形,∴kAB=kCD,kAD=kBC,(2)设直线AC,BD的斜率分别为kAC,kBD.∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD.∴▱ABCD为菱形.1.本例条件不变,试求△ABC中平行于边AB的中位线所在直线的方程. 2.本例条件不变,试求△ABC中BC边上的高所在直线的方程. 1.利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时,要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论.2.当直线方程是一般式时,也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系:直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0;(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.因忽略斜率不存在的情况致误【典例】 已知直线m1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线m2经过点A(3,a),N(6,5),若m1⊥m2,求a的值.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?又如何防范?提示:上述解法的错误在于忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关系的前提:两条直线的斜率存在且都不为0.正解:由题意,可知直线m2的斜率k2一定存在,直线m1的斜率可能不存在.①当a=5时,直线m1的斜率不存在,此时直线m2的斜率k2=0,则m1⊥m2.②当a≠5时,直线m1的斜率k1存在,m1⊥m2⇔k1k2=-1,即 ,解得a=0.综上,当m1⊥m2时,a的值为0或5.当直线用一般式表示出来后,求斜率时特别要注意直线的斜率不存在时的情况是否符合题意,否则会漏解.求出参数值后,一定要验证是否有重合的情况.