高中人教B版 (2019)4.2.2 对数运算法则同步训练题

【优选】4.2.2 对数运算法则-1优选练习

一．单项选择

1．函数的图像如图所示，其中．为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

2．已知实数，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

3．设函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

4．如果，，那么的值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．方程的解是（    ）

A． B．100 C．10 D．10或100

6．设函数，其中，且，若，则（    ）

A．1 B． C． D．或

7．下列式子中成立的是（    ）

A． B． C． D．

8．函数在为减函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．若不等式对任意的恒成立,则实数的取值范围是（     ）

A．(-∞,0] B．(-∞,] C．[0,＋∞) D．[,＋∞)

10．函数是增函数的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

11．若实数，则(    )

A． B．

C． D．

12．函数的图象一定经过点（    ）

A． B．

C． D．

13．若函数的定义域为，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

14．若，则的值是（    ）

A．a B． C． D．

15．函数在上是增函数，则实数的范围是（    ）

A． B． C． D．

16．函数(其且)是(    )

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．奇偶性由a决定

17．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

18．函数的最大值是（    ）

A． B．2 C． D．3

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】根据图像的单调性可求出的范围，再由时，的值即可确定的范围.

详解：由图可知函数单调递减，所以，当时，，所以.

故选：D

【点睛】

本题主要考查对数与对数函数的图像，属于基础题.

2．【答案】D

【解析】利用对数运算，结合对数函数的单调性，即可容易比较的大小.

详解：因为，

且，

，

同理，

，

.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用对数函数的单调性，比较对数式的大小，属基础题.

3．【答案】B

【解析】将方程有三个根，转化为图像有三个交点，数形结合即可.

【详解】

有三个根，

等价于与图像有三个交点，

根据题意，是周期为4的周期函数，

在同一直角坐标系中画出函数的图像，如下所示：

由图可知，若满足题意，

则在处的函数值小于3，且

在处的函数值大于3，

故：，

解得

故选：B.

【点睛】

本题考查方程根的个数，涉及函数的周期性，单调性，属综合基础题.

4．【答案】A

【解析】将指数式化为对数式，结合对数运算法则即可求得结果.

详解：，，，，

，，

.

故选：.

【点睛】

本题考查指数与对数的互化．对数运算法则的应用等知识，属于基础题.

5．【答案】D

【解析】在两端同时取对数，得到，解方程即可得到答案.

详解：因为，所以，即，

所以或，解得或.

故选：D

【点睛】

本题主要考查解与对数有关的方程，考查学生转化与化归的思想，数学计算能力，是一道容易题.

6．【答案】C

【解析】由已知可得，得，所以，从而可求出的值

详解：解：因为，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，

故选：C

【点睛】

此题考查的是对数函数，极限的运算等知识，属于基础题

7．【答案】D

【解析】根据对数函数．指数函数．幂函数的单调性，逐项验证，即可得出答案.

【详解】

选项：函数在上是减函数，

，不成立；

选项：函数在上是增函数，

，选项不成立；

选项：，

，

，不成立；

选项，函数在上是增函数，

，成立.

故选:D.

【点睛】

本题考查比较数的大小，注意指数函数．对数函数．幂函数单调性的应用，属于中档题.

8．【答案】B

【解析】由对数定义可知且，根据复合函数单调性可知，由对数定义域要求可得：，从而解不等式求得结果.

【详解】

由题意得：且

为上的减函数

若在上为减函数，则，解得：

故选：

【点睛】

本题考查根据复合函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略函数定义域的要求，造成求解错误.

9．【答案】B

【解析】由，

得，即

所以，

即对任意的恒成立．

设，，由与都是

上的减函数，则为减函数

故，∴，故选B．

【方法点晴】本题主要考查指数与对数的运算法则以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的最大值.

10．【答案】D

【解析】根据对数函数的单调性和命题的充分条件．必要条件的判断可得选项.

【详解】

∵时，是增函数，

∴函数是增函数的一个充分不必要条件是的一个子集，又 ，

故选：D.

【点睛】

本题考查对数函数的单调性和命题的充分必要条件的定义和判断，属于基础.

11．【答案】C

【解析】根据函数单调性得到，再依次判断每个选项得到答案.

详解：，故，

取，，则，A错误；，B错误；

，故，C正确；取，，，D错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等关系的判断，意在考查学生对于函数单调性的灵活运用.

12．【答案】C

【解析】根据对数函数的性质，结合图象的平移变换规律进行求解即可.

详解：把的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到的图象，因为的图象恒过点，所以的图象经过点(2,1).

故选：C

【点睛】

本题考查了对数型函数恒过定点问题，考查了函数图象的平移变换性质，属于基础题.

13．【答案】C

【解析】由定义域求得参数，即可由对数运算求得结果.

详解：因为的定义域为，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查由对数型函数的定义域求参数值，以及对数运算，属基础题.

14．【答案】C

【解析】利用对数指数的运算法则计算得到答案.

详解：，则.

故选：C.

【点睛】

本题考查了指数对数的运算，意在考查学生的计算能力.

15．【答案】D

【解析】根据复合函数的单调性可以得到在为增函数，且恒成立，从而可求实数的范围.

【详解】

令，则为及 构成的复合函数.

因为在上是增函数，

所以在为增函数，且恒成立，

故，故.

故选：D.

【点睛】

本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，可根据“同增异减”的原则来判断内函数或外函数在相应范围上的单调性，注意真数部分的内函数的函数值恒为正的要求，本题属于中档题.

16．【答案】A

【解析】根据真数大于0求出函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义判断，即可求得答案．

详解：由，

得

函数的定义域为，

又

为奇函数

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了判断函数的奇偶性，解题关键是掌握奇偶函数定义和对数运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．

17．【答案】A

【解析】首先得出，然后利用对数函数和指数函数的性质求解即可.

详解：∵，∴，即，

∴，即，

∵，∴，

故选：A.

【点睛】

本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.

18．【答案】A

【解析】令，用双勾函数的性质求得其最小值，再利用单调性求解.

详解：令，

由双勾函数知：t在上递减，在上递增，

所以当时，t取得最小值，最小值为4，

又因为，在上递减，

所以其最小值为，

所以的最小值为.

故选：A

【点睛】

本题主要考查复合函数求最值以及对数函数和双勾函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.