九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的三角形

这是一份九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的三角形，共62页。试卷主要包含了如图，抛物线过点，点，顶点为C等内容，欢迎下载使用。
中考专题训练——二次函数与特殊的三角形
1．如图，在平面直角坐标系中，点，分别是轴正半轴，轴正半轴上两动点，，，以，为邻边构造矩形，抛物线交轴于点，为顶点，轴于点．

(1)求，的长（结果均用含的代数式表示）．
(2)当时，求该抛物线的表达式．
(3)在点在整个运动过程中，若存在是等腰三角形，请求出所有满足条件的的值．
2．如图1，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．点在轴正半轴上，直线：与抛物线交于点．

(1)求线段的长度；
(2)如图，点Р是线段上的动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求的最大值；
(3)如图3，将抛物线向左平移4个单位长度，将沿直线平移，平移后的记为，在新抛物线的对称轴上找一点M，当是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．


3．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线与抛物线：组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为．

(1)求M，N两点的坐标及抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为D，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点Q，使得，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当为直角三角形时，求的值；
(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．
5．如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，，与轴交于点，连接．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．

(1)求二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；
(3)有一个点M在线段CB上运动，作MN⊥x轴交抛物线于点N，问当M、N点位于何处时，△BCN的面积最大，求最大面积.




7．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0，1)和点B(3，4)．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值；
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

9．抛物线过点，点，顶点为C．

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线上，连接并延长交x轴于点D，连接，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，点E是线段上（与点A，C不重合）的动点，连接，作，边交x轴于点F，求的最大值．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大?并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），与x轴交于另一点D．

(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；
(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；
(3)如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由．
12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方的抛物线上时，求的最大面积，并直接写出此时点坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，以，，，为顶点、为边的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．



13．如图，一次函数y =﹣4x﹣4的图像与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y=的图像经过A、C两点，且与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点E,使点E到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出此点E的坐标；
（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝﹣x﹣2相交于A（﹣2，0），B（m，﹣6）两点，且抛物线经过点C （5，0）．点P是直线下方的抛物线上异于A、B的动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线于点E．

（1）求抛物线的解析式；
（2）连结PA、PB、BD，当S△ADBS△PAB时，求S△PAB；
（3）是否存在点P，使得△PBE为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


15．如图①，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为(4，0)，连结OG．抛物线y＝ax（x﹣2）+1+的顶点为P．

（1）直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴；
（2）连结OP，求当∠AOG＝2∠AOP时a的值．
（3）如图②，若抛物线开口向上，点C，D分别为抛物线和线段AB上的动点，以CD为底边构造顶角为120°的等腰三角形CDE（点C，D，E成逆时针顺序），连结GE．
①点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值；
②当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式．
16．已知：如图，直线交坐标轴于A、C两点，抛物线过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接PA，PC，试问△PAC是否存在最大值，若存在，请求出△APC取最大值以及点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．

17．已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴交于点、，点的坐标为，点的坐标为．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点是线段上的动点，过点作∥，交于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标；
（3）若平行于轴的动直线与该抛物线交于点，与直线交于点，点的坐标为．问：是否存在这样的直线，使得是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，连接BC．过点A作BC的平行线交抛物线于点D．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知点M是抛物线的顶点，在直线AD上有一动点E，x轴上有一动点F，当ME+BE最小时，求|CF﹣EF|的最大值及此时点F的坐标；
（3）如图2，在y轴正半轴上取点Q，使得CB＝CQ，点P是x轴上一动点，连接PC，将△CPQ沿PC折叠至△CPQ′.连接BQ，BQ′，QQ′，当△BQQ′为等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

19．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点其中点A在点B的左侧，交y轴正半轴于点C，且，点D在该函数的第一象限内的图象上．
求点A、点B的坐标；
若的最大面积为平方单位，求点D的坐标及二次函数的关系式；
若点D为该函数图象的顶点，且是直角三角形，求此二次函数的关系式．

20．如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为其顶点，对称轴l与x轴交于点D，抛物线上C、E两点关于对称轴l对称．
求抛物线的函数表达式；
点G是线段OC上一动点，是否存在这样的点G，使与相似，若存在，请求出点G坐标，若不存在请说明理由．
平移抛物线，其顶点P在直线上运动，移动后的抛物线与直线的另一交点为M，与原对称轴l交于点Q，当是以PM为直角边的直角三角形时，请写出点Q的坐标．


参考答案：
1．(1)，
(2)
(3)或或

【分析】（1）点在上，且在轴上，即求出点坐标，根据抛物线顶点公式，求出即可；
（2）先用表示出相关的点的坐标，根据建立方程即可；
（3）先用表示出相关的点的坐标，根据是等腰三角形，分三种情况，计算．
【详解】（1）解：把代入，，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴抛物线表达式为．
（3）当在矩形外时，
如图，过作于点，

当时，
∵，
∴，
，
，
在中，，
∴，
∴，
当在矩形内部时，
时，如图，过作于，

，，
，
又∵，
∴，
∴，
当时，如图3，过作于，

，
，，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、平面坐标系中求线段的长、等腰三角形的性质，确定出函数解析式是解本题的关键．
2．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）分别求出点、点的坐标，然后根据勾股定理计算的长度即可；
（2）先求出直线的解析式确定点的坐标，并求出的长度；然后通过计算出点的横坐标，求出点横坐标的取值范围；设点，由轴可得，进而可表示出，求出的最大值即可得出结果；
（3）分别求出抛物线平移后的对称轴和直线的函数表达式，设出的坐标，根据，列方程组求解即可；
【详解】（1）解：令，则
解得或
∴，
当时，；
∴
∴
（2）解：将点代入得：
解得：
∴直线：
当时，；
∴
∴
联立方程组
解得或
设
∵轴
∴
∴
∴当时，；
此时，
∴的最大值为：
（3）解：函数的对称轴为直线：
故其向左平移个单位长度后的抛物线的对称轴为直线：
设
由，，可得：
直线：；直线：；
由平移的性质可知：
设直线：
∵
∴
解得：
∴直线：
设点
由题意可知：，
∴
解得：，
∴，
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，平面直角坐标系中两点间的距离、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识点；熟练掌握二次函数图像与表达式之间的关系是解题的关键．
3．(1)，
(2)是等腰三角形，见解析
(3)存在，或

【分析】（1）令，求解方程，可求M、N点坐标，设抛物线的解析式为，将点A代入即可求函数的解析式；
（2）求出D点坐标，利用两点间距离公式，得到，即可判断三角形形状；
（3）求出P点坐标，直线的解析式，过点P作轴交于点G，根据所求的P点坐标，分两种情况，利用铅锤法求相应的Q点坐标即可．
【详解】（1）令，则，
解得或，
∴，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）∵存在一点Q，使得，理由如下：
∵点是抛物线上一点，
∴，
解得或，
∴或，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点P作轴交于点G，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“月牙线”的定义，利用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
4．(1)；
(2)当为直角三角形时，的值为1或2或5；
(3)经过的路径长度为

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）分分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可；
（3）根据为的外接圆，可知，点在线段的中垂线上，当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，分别求出当、和时，点的坐标，然后利用两点间的距离公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过原点，且对称轴是直线，
，，
则、，
抛物线解析式为；
（2）解：设点，
，
点，
则、、，
①若，则，
解得（舍或，
，
则直线解析式为，
当时，，即，
；
②若，则，
解得（舍或，
，
则直线解析式为，
当时，，即，
；
③若，则，
整理，得：，
，
，
，
，
则或（舍，
，
直线解析式为，
当时，，即，
；
综上，当为直角三角形时，的值为1或2或5．
（3）为的外接圆，
点在线段的中垂线上，
当时，点的运动路径是在线段中垂线上的一条线段，
当时，如图1，

由（2）知，
此时的外接圆圆心是的中点，
，
；
当时，如图2，

由（2）知，，
此时的外接圆圆心是的中点，
、，
；
当时，如图3，

由（2）知，，
此时的外接圆圆心是的中点，
，
；
则点经过的路径长度为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题．
5．(1)
(2)存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形
(3)存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．

【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解；
（2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解；
（3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为边时，当BC为对角线时，即可求解．
（1）
解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴，解得：a=-1，
∵抛物线过点，
∴，解得：c=3，
∴抛物线解析式为；
（2）
解：存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，则，
解得：，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴OA=1，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=3，
∴，
设直线BC的解析式为，
把点B（3，0），C（0，3）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴，，
当AC=AN时，，
解得：m=2或0（舍去），
∴此时点N（2，1）；
当AC=CN时，，
解得：或（舍去），
∴此时点N；
当AN=CN时，，
解得：，
∴此时点N；
综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形；
（3）
解：存在，理由如下：
∵点B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC，
设点E（1，n），点F（s，t），
当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，

∴或，
解得：或，
∴此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；
当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，

，解得：或，
∴此时点F的坐标为或；
综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键．
6．(1)
(2)存在，P（2，2） （2，3+）（2，3，-）（2，）（2，-）
(3)当，时，△BCN的面积最大，最大面积为

【分析】（1）根据题中所给的解析式及A（1，0）和C（0，3）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况，利用两点之间距离公式列出方程求解即可；
（3）平面直角坐标系中三角形面积问题，找平行于坐标轴的边为底，然后表示出面积即可得出结论．
（1）
解：已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点C（0，3），
，
解得，
二次函数的解析式为
（2）
解：存在，
由（1）知抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（2，n），C（0，3），B（3，0），则根据两点之间距离公式可得PC2=22+（n-3）2 ，PB2=（2-3）2+n2，CB2=18，当△PBC为等腰三角形时，分三种情况：
①当PC=PB时，22+（n-3）2=（2-3）2+n2，解得n=2；
②当PC=BC时，22+（n-3）2=18，解得n1=3+，n2=3-；
③当PB=CB时，（2-3）2+n2=18，解得n1=，n2=-；
综上所述：P（2，2）、（2，）、（2，）、（2，）、（2，）；
（3）
解：设直线，
把C（3，0）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为，
设，
∴，
∴，
∴ ，
当时，最大，
当时，，
∴，
当时， ，
∴
综上所述，当，时，△BCN的面积最大，最大面积为．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数求二次函数表达式、二次函数综合中的等腰三角形问题、二次函数综合中的三角形面积问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解常见二次函数综合题型的解题方法步骤是解决问题的关键．
7．(1)
(2)①；②S有最大值为，此时
(3)存在，或

【分析】（1）点C坐标代入解析式可求c的值，由对称轴可求b的值，即可求解；
（2）①先求出点M，点A，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解；
②利用二次函数的性质可求解；
（3）分三种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解．
(1)
解：将点代入中，得，
∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：①∵
∴．
∵令，则，
解得，
∴．
∵点，点，
∴直线的解析式为．
∵点P在直线上，且轴于点D，，
∴点，
∴．
∵点P在线段上，且点，点，
∴．
∴S与m之间的函数关系式为；
②∵
∴当时，S有最大值为，
此时
把代入，得
∴
∴当时，S有最大值为，此时．
(3)
解：存在满足条件的点P，点P的坐标为或．理由如下：
设，则，，
所以，
，
，
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得（舍去），
所以点P；
若，即，
解得或，均不合题意，故舍去，
所以点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
8．(1)
(2)
(3)存在，E（4，3）或（-2，5）或（-3，2）或（3，0）．

【分析】（1）将A，B两点代入到解析式中，得到a与c的值，求得抛物线的解析式；
（2）设C（m，-m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，则可以得到M的坐标（m，m+1），表示出线段CM的长，△ABC的面积可以分解为△ACM与△BCM之和，可以用m表示出△ABC的面积，得到关于m的二次函数，根据m的范围，确定函数的最值，从而求得C点坐标；
（3）将抛物线配成顶点式，直接写出平移后的抛物线解析式，联立两个抛物线解析式，求得D的坐标，以AD为腰的等腰直角三角形，分四类讨论，即A和D可以均为直角顶点，同时，E的位置可以在AD右侧，也可以在AD左侧，构造一线三等角模型，求出E点坐标即可．
(1)
解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得．
解得：．
∴抛物线的表达式为；
(2)
解：设直线AB的表达式为：，将点A、B的坐标代入得：
．  解得：．
故直线AB的表达式为：．
过点C作轴的平行线交AB于点H．如图．

设点C（，），则H（，+1）．
∵四边形ACBP是平行四边形，

．                                            
∵-3