2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与角度问题

这是一份2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与角度问题，共56页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，抛物线，已知二次函数y＝x2十x﹣2k等内容，欢迎下载使用。
中考专题训练——二次函数与角度问题
1．已知抛物线经过点中的一点，且当，当时，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)已知过的直线与抛物线交于A，B两点（点B在点A的左侧）
①若M为的中点，且点M的横坐标为m，求点M的纵坐标；（用含m的代数式表示）
②记抛物线的顶点为D，若轴于点P．求证：对于任意过点C且与抛物线交于A，B两点的直线，均有A，D，P三点共线．
2．在平面直角坐标系中，抛物线：与轴分别相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，设抛物线的对称轴与轴相交于点，且
(1)求的值；
(2)设点是抛物线在第三象限内的动点，若，求点的坐标；
(3)将抛物线向上平移3个单位，得到抛物线，设点、是抛物线上在第一象限内不同的两点，射线、分别交直线于点、，设、的横坐标分别为、，且，求证：直线经过定点．
3．已知二次函数y＝x2十（k﹣2）x﹣2k．
(1)当此二次函数的图像与x轴只有一个交点时，求该二次函数的解析式；
(2)当k＞0时，直线y＝kx2交抛物线于A，B两点（点A在点B的左侧），点P在线段AB上，过点P做PM垂直x轴于点M，交抛物线于点N．
①求PN的最大值（用含k的代数式表示）；
②若抛物线与x轴交于E，F两点，点E在点F的左侧．在直线y＝kx+2上是否存在唯一一点Q，使得∠EQO＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于点A，顶点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求a，b的值；
（2）在y轴正半轴上取点C（0，4），在点A左侧抛物线上有一点P，连接PB交x轴于点D，连接CB交x轴于点F，当CB平分∠DCO时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接PC，在PB上有一点E，连接EC，若∠ECB＝∠PDC，求点E的坐标．

5．如图1，抛物线y=ax2-3ax-2交x轴于A、B（A左B右）两点，交y轴于点C，过C作CD∥x轴，交抛物线于点D，E(-2，3)在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，过点P作PF⊥CD，垂足为F，连接PE交y轴于G，求证：FG∥DE；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点F作FM⊥PE于M．若∠OFM=45°，求P点坐标．

6．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点在左侧)，与轴交于点，顶点为．

（1）当时，求四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，在第二象限抛物线对称轴左侧上存在一点，使，求点的坐标；
（3）如图2，将（1）中抛物线沿直线向斜上方向平移个单位时，点为线段上一动点，轴交新抛物线于点，延长至，且，若的外角平分线交点在新抛物线上，求点坐标．

7．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，点P是抛物线在第一象限内的一点，作PQ∥y轴交BC于Q，当线段PQ的长度最大时，在x轴上找一点M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；
（3）抛物线的顶点为点E，连接AE，在抛物线上是否存在一点N，使得直线AN与直线AE的夹角为45度，若存在请直接写出满足条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．

(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
9．抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位于第一象限．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；
(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
10．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为抛物线上一点，满足，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P    使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
11．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点，两点，对称轴为直线，对称轴与x轴交于点D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，当时，求点P的坐标；
(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．



12．如图1，直线与y轴相交于点A，抛物线也经过点A，其顶点为B．将该抛物线沿直线l平移使顶点B落在直线l上的点D处，点D的横坐标为．

（1）求点B坐标；
（2）求平移后的抛物线的解析式（用含n的式子表示）；
（3）若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a．
①请求出a关于n的函数关系式；
②如图2，连接、，若，求a的值．
13．已知抛物线过点A（-4，0），顶点坐标为C（-2，-1）．
（1）求这个抛物线的解析式．
（2）点B在抛物线上，且B点的横坐标为-1，点P在x轴上方抛物线上一点，且∠PAB=45°，求点P的坐标．
（3）点M在x轴下方抛物线上一点，点M、N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D．连结MD交两坐标轴于E、F点. 求证：OE=OF．




14．如图1，已知：抛物线过点，交轴于点，点（在左边），交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上一动点，，求点的坐标；
（3）如图2，交抛物线于两点（不与重合），直线分别交轴于点，点，试求此时是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由．

15．如图1，抛物线经过A（1，0），B（7，0），D（0，） 三点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使S△ABM =S△ABC，若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P.
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出∠APB的度数；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长.




16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
17．已知：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为A．

（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP．
①当OA⊥OP时，求OP的长；
②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B，联结OB，当∠OAP=∠OBP时，求点B的坐标．



18．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．
19．如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．

（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，直接写出AM的长．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2，－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x，y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案：
1．(1)
(2)①；②见解析

【分析】（1）根据题意抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，代入，待定系数法求解析式即可求解；
（2）①设、，设直线解析式为，联立抛物线解析式，根据根与系数的关系求得，根据中点坐标公式即可求解．
②过点作轴的垂线，垂足为，连接，设，则，过点作轴，交于点，则，设直线解析式为，抛物线的解析式为，则是方程的两根，根据根与系数的关系可得，分别求得与的正切值，进而可得，即可得证．
(1)
解：当，当时，．
，且顶点为，
抛物线经过点，
设抛物线的解析式为，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为，
(2)
①设过的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
设直线解析式为，
，
即，
，
则x1，x2是上述方程的两个实数根，
，
M为的中点，且点M的横坐标为m，
，
解得，
点M的纵坐标，

②如图，过点作轴的垂线，垂足为，连接，

设，则，过点作轴，交于点，则
设直线解析式为，抛物线的解析式为，
则是方程的两根，
即，
，，
，
，
，
，
，
即，
即A，D，P三点共线．
【点评】本题考查了二次函数的综合，二次函数与一次函数交点问题，解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，第三问根据角相等解决共线问题是解题的关键．
2．(1)
(2)点的坐标为
(3)见解析

【分析】（1）由顶点式求得对称轴，由x=0处函数值求得C点坐标，根据列方程求解即可；
（2）连接AC、BC，过点作，设交于点，作轴于点，由抛物线解析式求得A、B、C坐标，可得△OBC、△CHT是等腰直角三角形，由BC和可得TC，进而可得T点坐标，再由B点坐标可得直线BC解析式，然后与二次函数解析式联合求得交点坐标即可解答；
（3）设点，，由原点可得直线PO、QO的解析式，再由y=-2可得点、横坐标，由可得；设直线的解析式为，与联立可得，利用根与系数的关系可得，，代入求得，于是直线为经过定点；
(1)
解：依题意得：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
在中，令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，解得；
(2)
解：如图，连接AC、BC，过点作，设交于点，作轴于点，
由（1）得，
∴抛物线的解析式为，，，
令，则，解得，，
∵点在点的左侧，∴，，，
在中，，
，则是等腰直角三角形，，
∠OCB=45°，∠TCB=90°，则∠TCH=45°，
∴是等腰直角三角形，
∵，∴，
∴，，
∴，
∴，
由点与点，可求得，
联立得，
解得：，，
∴点的坐标为；

(3)
解：如图，将抛物线向上平移3个单位后得到抛物线：，
∵点、是抛物线上在第一象限内不同的两点，
∴设点，，
由，分别可求得：，
∵点、在直线上，
∴点，，
∵
∴，即，整理得，
设直线的解析式为，与联立得：
，，
整理得，
由根与系数的关系可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，，
∴当时，，
∴直线经过定点；

【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系；此题综合性较强，正确作出辅助线并掌握函数图象交点坐标的意义是解题关键．
3．(1)
(2)①，②存在实数或，使在直线上存在唯一一点Q，使得

【分析】（1）根据函数图像与x轴只有一个交点，结合求出值即可；
（2）①根据题意，求出，利用两点之间距离公式求出,得出即可求出结论；②二次函数综合中的直角三角形分两种情况：当直线与以O、E为直径的圆相切时；当圆与直线相交且一个交点为A时；分情况求解即可．
(1)
解：二次函数的图像与x轴只有一个交点，
∴，解得，
∴所求抛物线的解析式为；
(2)
解：如图所示：

①∵点P在线段上，且直线解析式为，
∴设点M的横坐标为m，则，
∴

，
把代入得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴x的值可以取到1，即，
∴m的值可以取到1，
∴当时的最大值为；
②设直线与x轴、y轴分别交于点G、H，则．
在中，由勾股定理得：，
令，即，解得：或．
∴，．
（Ⅰ）当直线与以O、E为直径的圆相切时，如图①所示：

设直线与以O、E为直径的圆相切的切点为Q，此时．
设中点为点M，连接，如图①所示，则．
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴
∴，解得：，
∵，
∴．
（Ⅱ）当圆与直线相交且一个交点为A时，如图②所示，设另一个交点为Q，

∵是圆的直径，
∴，
此时可得：，
∴，解得：，
∵，
∴．
∴存在实数或，使在直线上存在唯一一点Q，使得．
【点评】本题考查二次函数综合，涉及到利用判别式求二次函数解析式、二次函数综合中的线段最值问题、二次函数综合中的直角三角形问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，并掌握解决相关二次函数综合问题题型的方法技巧是解决问题的关键．
4．（1）a＝，b＝2；（2）P(﹣6，6)；（3）(﹣，)
【分析】（1）根据顶点B的坐标及原点即可求出解析式；
（2）过点B作BH⊥y轴于点H，过点D作DG⊥CB于点G，先求出tan∠BCH＝，再根据CB平分∠DCO求出点D的坐标，得到直线BD的解析式，利用抛物线的解析式即可得到点P的坐标；
（3）过点P作PM⊥y轴于点M，过点B作BH⊥y轴于点H，证明△PMC≌△CHB得到∠CPB＝∠CBP＝45°，过点C作CN⊥CE，过点B作BN⊥BP，CN、BN交于点N，连接DN，证明△ECD≌△NCD得到DE＝DN，过点P作PK⊥x轴于点K，利用勾股定理求出PD，设ED＝t，作BQ⊥x轴于点Q，求出BD后根据勾股定理求出ED，作ER⊥x轴于点R，根据平行线所截线段成比例求出ER，再根据三角函数求出DR即可得到点E的坐标.
【解析】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）2﹣2＝ax2+4ax+4a﹣2，
故4a﹣2＝0，
解得：a＝，
b＝4a＝2；
（2）抛物线的表达式为：y＝x2+2x…①，
过点B作BH⊥y轴于点H，过点D作DG⊥CB于点G，

由点B、C的坐标得直线BC的表达式为：y＝3x+4，则点F（﹣，0），
∵点B（﹣2，﹣2），BH＝2，CH＝4+2＝6，则tan∠BCH＝＝tanα，
∵DG⊥BC，
∴∠FDG＝∠FCO＝α＝∠DCG，
在Rt△DFG中，设FG＝m，则DG＝3m，
则CG＝3DG＝9m，
CF＝9m﹣m＝8m＝,
解得：m＝，
DF＝，
OD＝OF+DF＝3，故点D（﹣3，0），
由点B、D的坐标可得，直线PB的表达式为：y＝﹣2x﹣6…②，
联立①②并解得：x＝﹣2（舍去）或﹣6，
故点P（﹣6，6）；
（3）如图2，过点P作PM⊥y轴于点M，过点B作BH⊥y轴于点H，

∵P（﹣6，6），
则PM＝OM＝6，
∴CM＝2，PM＝CH，
∴BH＝CM，
∵∠PMC＝∠BHC＝90°，
∴△PMC≌△CHB（HL），
∴CP＝CB，∠MPC＝∠BCH，
∵∠MPC+∠PCM＝90°，
∴∠BCH+∠PCM＝90°，
∴∠PCB＝90°，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
过点C作CN⊥CE，过点B作BN⊥BP，CN、BN交于点N，连接DN，
则∠CBN＝90°﹣∠CPB＝45°，
∴∠CPB＝∠CBN，
∵∠ECN＝∠EBN＝90°，
∴∠CEB+∠CNB＝180°，
∵∠CEB+∠PEC＝180°，
∴∠CNB＝∠PEC，
∵PC＝CB，
∴△PEC≌△BNC（SAS），
则PE＝BN，CE＝CN，
∵∠ECB＝∠EDC+∠DCB，∠PDC＝∠DCB+∠CBD，∠ECB＝∠PDC，
∴∠ECD＝∠CBD＝45°，
∴∠DCN＝90°﹣∠ECD＝45°，
∴∠ECD＝∠DCN，
∵CD＝CD，
∴△ECD≌△NCD（SAS），
∴DE＝DN，
在Rt△DBN中，BD2+BN2＝DN2，则BD2+PE2＝DE2，
过点P作PK⊥x轴于点K，
∴PK＝KO＝6，
∵OD＝3，
∴KD＝3，
在Rt△PKD中，PD＝,
设ED＝t，则PE＝3﹣t，
过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ＝OQ＝2，DQ＝OD﹣OQ＝1，
在Rt△BDQ中，BD＝＝，
故（）2+（3﹣t）2＝t2，
解得：t＝,
故DE＝，
过点E作ER⊥x轴于点R，则ER∥PK，
故，即 ,
解得：ER＝
∵∠EDR＝∠BDQ，
故tan∠EDR＝tan∠BDQ，
即：=2，
故DR＝，OR＝DR+OD＝+3＝，
故点E的坐标为：(﹣，)．
【点评】此题是一道抛物线的综合题，考查待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角函数，三角形全等的判定及性质，函数解析式与方程组的关系，正确掌握各知识点是解题的关键.
5．（1）y=x2-x-2；（2）见解析；（3）点P坐标为(6，7)
【分析】（1）把点E坐标代入抛物线解析式即求得a的值；
（2）由抛物线解析式求点A、B、C、D的坐标，直接求得直线DE解析式为y=-x+1．设点P横坐标为t，即得到点F（t，-2）．把t当常数用待定系数法求直线PE解析式，进而求得用t表示的点G纵坐标，再用待定系数法求直线FG解析式，解得FG解析式的一次项系数为-1，与直线DE相等，所以FG∥DE；
（3）延长FO、PE相交于点N，由FM⊥PE于M且∠OFM=45°可证得△MNF为等腰直角三角形，故有FM=MN．过点M作MG⊥PF于点G，过点N作NH⊥PM于点H，即构造出△FGM≌△MHN，进而有FG=MH，MG=NH．设点M横坐标为m，由（2）求得的直线PE解析式可得M的纵坐标，进而得到用t和m表示的MG、FG．求直线OF解析式，联立直线OF与直线PE求得用t表示的交点N坐标，进而得到用t和m表示的MH、NH．代入FG=MH，MG=NH即得到关于t、m的二元方程组，解方程组并考虑t的范围即求得点P坐标．
【解析】解：（1）∵E（-2，3）在抛物线y=ax2-3ax-2上
∴4a+6a-2=3
解得：a=
∴抛物线解析式为y=x2-x-2
（2）证明：∵y=x2-x-2=0时，解得：x1=-1，x2=4
∴A（-1，0），B（4，0）
∵x=0时，y=x2-x-2=-2
∴C（0，-2）
∵点D在抛物线上，且CD∥x轴
∴D（3，-2）
设直线DE解析式为y=kx+b
∴   解得：
∴直线DE：y=-x+1
∵点P为第一象限抛物线上一点
∴设点P坐标为（t，t2-t-2）（t＞4）
设直线PE解析式为y=cx+d
∴  解得：
∴直线PE：y=x+t-2，直线PE与y轴交点G（0，t-2）
∵PF⊥CD于点F
∴F（t，-2）
设直线FG解析式为y=ex+t-2
把点F代入得：te+t-2=-2
解得：e=-1
∴FG∥DE
（3）延长FO、PE相交于点N，过点M作MG⊥PF于点G，过点N作NH⊥PM于点H

∴∠FGM=∠MHN=90°
∵FM⊥PE于M
∴∠FMN=90°
∴∠FMG+∠NMH=∠MNH+∠NMH=90°
∴∠FMG=∠MNH
∵∠OFM=45°
∴∠MNF=180°-∠FMN-∠OFM=45°
∴FM=MN
在△FGM与△MHN中

∴△FGM≌△MHN（AAS）
∴FG=MH，MG=NH
∵F（t，-2）
∴直线OF：y=-x
∵点M在直线PE：y=x+t-2上
∴设M（m，m+t-2）
∴MG=t-m，FG=m+t-2-（-2）=m+t
∵  解得：
∴N（，）
∴MH=m-，NH=m+t-2-
∴
解得： （舍去）
∴yP=×36-×6-2=7
∴点P坐标为（6，7）.
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质（k相同所以平行），一元一次方程、二元方程组、一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．第（3）题的解题关键是由垂直和45°角联想到构造等腰直角三角形，再联想到构造全等三角形．得到全等三角形对应边相等后需要经过较复杂计算得到点坐标进而得到用未知数表示的线段长，要有耐心和运算技巧进行计算．
6．（1）4；（2），；（3）．
【分析】（1）过点D作DE⊥x轴于点E，求出二次函数的顶点D的坐标，然后求出A、B、C的坐标，然后根据即可得出结论；
（2）设点是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将沿轴翻折得到，点，连接，过点作于，过点作轴于，证出，列表比例式，并找出关于t的方程即可得出结论；
（3）判断点D在直线上，根据勾股定理求出DH，即可求出平移后的二次函数解析式，设点，，过点作于，于，轴于，根据勾股定理求出AG，联立方程即可求出m、n，从而求出结论．
【解析】解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E

当时，得到，
顶点，
∴DE=1
由，得，；
令，得；
，，，
，OC=3
．
（2）如图1，设点是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将沿轴翻折得到，点，连接，过点作于，过点作轴于，

由翻折得：，
；
，
，
轴，，
，
，

由勾股定理得：，

，
，
，

，，
，
解得：(不符合题意，舍去)，；
，．
（3）原抛物线的顶点在直线上，
直线交轴于点，
如图2，过点作轴于，
；
由题意，平移后的新抛物线顶点为，解析式为，
设点，，则，，，
过点作于，于，轴于，
，
，


、分别平分，，
，
点在抛物线上，
，
根据题意得：
解得：

【点评】此题考查的是二次函数的综合大题，难度较大，掌握二次函数平移规律、二次函数的图象及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
7．（1）y＝﹣x+3；（2）；（3）点N的坐标为：（﹣，）．
【分析】（1）抛物线x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0）、（0，3），即可求解；
（2）取点C关于x轴的对称点C′（0，-3），连接PC′交x轴于点M，则点M为所求点，此时PM+CM的最小，即可求解；
（3）设GM=AG=x，则GE=2x，AE=AG+EG=3x=，解得：x=，HM2=AH2-OM2=（x）24=，故HM=，则点H（1，），将点A、H代入一次函数表达式并解得：直线AH（N）的表达式为：y=x+，即可求解．
【解析】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3，抛物线x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
则点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
∴将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+3；
（2）设点P（x，﹣x2+2x+3），则点Q（x，﹣x+3），
PQ＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝﹣x2+3x，
当x＝时，PQ有最大值，此时点P（，）；
取点C关于x轴的对称点C′（0，﹣3），连接PC′交x轴于点M，则点M为所求点，此时PM+CM的最小，

∴PM+CM的最小值＝PC′=；
（3）如图，设直线AN交对称轴于点H，故点H作HG⊥AE于点G，对称轴交x轴于点M，

tan∠AEM＝，设GM＝AG＝x，则GE＝2x，
AE＝AG+EG＝3x＝，解得：x＝，
HM2＝AH2﹣OM2＝（）2﹣4＝，
∴HM＝，则点H（1，），
将点A、H代入一次函数表达式并解得：
直线AH（N）的表达式为：；
联立直线BC和直线AH，则：
，
解得：x＝或﹣1（舍去﹣1），
故点N的坐标为：（﹣，）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、解直角三角形、一次函数等，其中（3），用解直角三角形的方法求解点H坐标，是此类题目的一般方法．
8．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线，继而通过证明，利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标，根据四边形OADC的面积进行求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可．
【解析】（1）将，，代入抛物线，得
，解得，
所以，抛物线的表达式为；
（2）如图，过点D作DE⊥x轴于E，
，

∵，，，
，
，
为直角三角形且，
将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，
此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，，
，
，
，
，
，
∴四边形OADC的面积
；
（3）
当点P在x轴上方时，
∵，
∴轴，
点P的纵坐标为4，即，
解得或0（舍去）
；
当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
∴设直线CF的解析式为，
即，解得，
∴直线CF的解析式为，
令，解得或0（舍去），
当时，
；
综上，或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键．
9．(1)；
(2)点M的坐标为或；
(3)（3）抛物线顶点横坐标t的取值范围为-3≤t＜0或 ．

【分析】（1）根据抛物线关于轴对称，，得，，用待定系数法即得抛物线的解析式是；
（2）当在上方时，过作交直线于，作直线，过作于，根据，，可推得，得到，设直线为，待定系数法得直线为，从而解得，；当在下方时，过作交直线于，过作KG//x轴，过作于，过作于，同理可得，；
（3）由平移后顶点在直线上，设平移后的抛物线为，把代入得：，解得或，结合函数图象可得，把代入得：，解得或，结合函数图象可得：．
(1)
解：抛物线关于轴对称，，
，，
把代入得：，
，
抛物线的解析式是；
(2)
当在上方时，过作交直线于，作直线，过作于，如图：

，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，，，
，，
，
设直线为，
，
解得，
直线为，
由得：（点横坐标，舍去），，
当时，，
，；
当在下方时，过作交直线于，过作轴，过作于，过作于，如图：

同理可得，
，，
，
设直线为，将，代入得：
，解得，
直线为，
由得（舍去）或，
，；
综上所述，点的坐标为，或，；
(3)
平移后顶点在直线上，
设平移后的抛物线顶点为，则平移后的抛物线为，
把代入得：，解得或，如图：

结合函数图象可得，
把代入得：，解得或，如图：

结合函数图象可得：，
综上所述，抛物线顶点横坐标的取值范围为或．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形全等的判定与性质等知识，还考查了数形结合、分类等数学思想，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
10．(1)，对称轴为直线
(2)（4，-5）
(3)存在，（4，1）或（-2，1）或或

【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）过点B作BM⊥BC交CR于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，证明△BOC≌△MBE，可得点E（2，-1），然后求出直线CR的解析式，再与抛物线解析式联立，即可求解；
（3）设，点Q（m，n），分两种情况讨论：然后分两种情况讨论：当AC为边时，当AC为对角线时，即可求解．
(1)
解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
(2)
解：当x=0时，，
∴OC=3，
∵点B（-1，0），
∴OB=1，
如图，过点B作BM⊥BC交CR于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，

∵∠BCR=45°，
∴△BCM为等腰直角三角形，∠CBO+∠EBM=90°，
∴BM=BC，
∵∠EBM+∠BME=90°，
∴∠CBO=∠BME，
∵∠BEM=∠BOC=90°，
∴△BOC≌△MBE，
∴EM=BO=1，BE=OC=3，
∴OE=2，
∴点E（2，-1），
设直线CR的解析式为
把点C（0，3），M（2，-1）代入得：
，解得：，
∴直线CR的解析式为，
联立得：，解得： 0 或（舍去），
∴点R（4，-5）；
(3)
解：存在．
设，点Q（m，n），
当以AC为边时，点C向点P（或点Q）平移的方向和距离与点A向点Q（或点P）平移的方向和距离相同，且AP=CQ（或AQ=CP），

∴或，
解得： 或，
∴此时点Q的坐标为（4，1）或（-2，1）
如图，当AC为对角线时，AC=PQ，且PQ与AC的中点重合，如图，
PQ=AC，

∴，解得：或，
∴此时点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为（4，1）或（-2，1）或或
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的综合题，一次函数的图像和性质，矩形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．
11．(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）由对称轴为直线则设抛物线代入点A、C的坐标求出解析式；
（2）过作，且，过作，过C作于，过作于，构建，即可得出，求得直线的解析式为：与抛物线解析式联立即可得出P点坐标；
（3）设，，分以AF为对角线时以AN为对角线时， 以为对角线时，进行讨论，列出方程组，即可解答问题．
（1）
解：∵抛物线对称轴为直线，
∴设抛物线，
把，代入得：
，
∴，
∴；
（2）
如图过作，且，过作，过C作于，过作于，

∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）
∵，
∴，
依题意设，，
∵，对称轴为直线，
∴，
∵，，，，
当以AF为对角线时，，
∴，
∴，
当以AN为对角线时，，
∴，
∴，
当以为对角线时，，
∴，
∴，
综上所述：或或．
【点评】此题考查了二次函数的图像和性质，一次函数的解析式求法，构造全等三角形的判定和性质，平行四边形存在性问题，是一道有关二次函数的综合题，掌握以上知识点是解题的关．
12．（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）首先由直线求得点A的坐标，然后将A点坐标代入抛物线解析式求得m，即可求点B的坐标；
（2）先由D点横坐标求出纵坐标，再根据平移规律直接写出答案；
（3）①根据两种不同的表示形式得到a与n之间的函数关系即可；
②过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，证得△ACE∽△CDF，然后用m表示出点C和点D的坐标，根据相似三角形的性质求得a的值即可．
【解析】（1）∵当x=0时，
∴A点坐标为
将A代入抛物线得
，解得
∴抛物线解析式为
∴顶点B的坐标为
（2）∵D点在直线上，且横坐标为
∴D点纵坐标
即
∴平移后的抛物线的解析式为
（3）①设C点坐标为
∵C点为两抛物线的交点
∴，
∴
整理得
②如图所示，过点C作y轴的垂线，垂足为E，过点D作DF⊥CE于点F，

∵∠ACD=90°，
∴∠ECA+∠DCF=90°
又∵∠F=∠AEC=90°
∴∠DCF+∠CDF=90°
∴∠ECA=∠CDF
∴△ACE∽△CDF
∴
∵C点横坐标为a，纵坐标为
D点横坐标为，纵坐标为
∴，
，
∴
解得（舍去）
故a的值为．
【点评】本题考查二次函数的综合问题，需要熟练掌握函数图像的平移，以及相似三角形的判定与性质．
13．（1）y=；（2）（，）；（3）证明见解析
【分析】（1）设抛物线的解析式为，然后将点A的坐标代入即可求出结论；
（2）先求出点B的坐标，过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G，利用AAS证出△AHB≌△BGQ，即可求出点Q的坐标，利用待定系数法求出直线AQ的解析式，然后联立方程组即可求出点P的坐标；
（3）设点M的坐标为（m，），利用对称性即可求出点N的坐标，利用待定系数法求出直线AN的解析式，联立方程组即可求出点D的坐标，从而求出直线MD的解析式，从而求出点E、F的坐标，即可证出结论．
【解析】解：（1）由抛物线的顶点坐标C（-2，-1），可设抛物线的解析式为
将点A（-4，0）代入，得

解得：
∴这个抛物线的解析式为=；
（2）将x=-1代入中，解得y=
∴点B的坐标为（-1，）
过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G

∴∠AHB=∠BGQ=∠ABQ=90°
∴∠ABH＋∠GCQ=90°，∠BQG＋∠GCQ=90°
∴∠ABH=∠BQG
∵∠PAB=45°，
∴△ABQ为等腰直角三角形
∴AB=BQ
∴△AHB≌△BGQ
∴QG=BH=，BG=AH=-1－（-4）=3
∴GH=BG－BH=
∴点Q的坐标为（-1＋，）=（，）
设直线AQ的解析式为y=kx＋b
将点A和点Q的坐标分别代入，得

解得：
∴直线AQ的解析式为
联立
解得：或（符合点A的坐标）
∴点P的坐标为（，）；
（3）设点M的坐标为（m，）
∴点N的坐标为（m，）
设直线AN的解析式为y=cx＋d
将点A和点N的坐标分别代入，得

解得：
∴直线AN的解析式为
联立
解得：或（符合点A的坐标）
∴点D的坐标为（，）
设直线MD的解析式为y=ex＋f
将M、D的坐标分别代入，得

解得：
∴直线MD的解析式为y=x＋
将x=0代入y=x＋中，解得y=；将y=0代入y=x＋中，解得x=
∴点E的坐标为（0，），点F的坐标为（，0）
∴OE=OF=
【点评】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，此题难度较大，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、联立方程组求点的坐标是解题关键．
14．（1）；（2）不存在点D；（3）是，7
【分析】（1）根据已知条件，将分别代入，解得的值即可；
（2）取作轴于S，构造，计算抛物线与两坐标轴的交点，解得根据题意，证明，从而得到，因为直线，联立直线与抛物线的解析式，求得点D的坐标即可解题；
（3）先联立直线与抛物线的方程组，求得两交点的坐标关系，分别计算直线NC与直线MC的解析式，再代入计算的值即可．
【解析】（1）将代入，
得
（2）取作轴于，

，
在和中

∴

∴，

，

∴，
∴，
而，
∴，∴
∵
∴重合，
∴此时不存在，
∴无解；
（3），设




∴：
同理：：
∴




【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合，其中涉及二次函数解析式求法、一次函数解析式求法、全等三角形的判断与性质、等腰直角三角形的性质、平行线判定与性质、一元二次方程的解法、韦达定理等知识，是重要考点，难度较难，作出正确辅助线，掌握相关知识是解题关键．
15．（1）抛物线的解析式为y=x2-2x+．（2）M1（9，4），M2（-1，4）．（3）①AF=BE，∠APB=120°．
【解析】试题分析：（1）先设出抛物线的解析式，然后将已知点的坐标代入求解即可；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．先求得三角形ABC的面积，从而得到△ABM的面积，依据三角形的面积公式可求得点M的纵坐标为4，由点M在抛物线可知可知y=4，从而可求得对应的x的值，于是得到点M的坐标；
（3）①先证明依据SAS△BEC≌△AFB，由全等三角形的性质可得到AF=BE，接下来证明∠FAB+∠ABP=∠ABC，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB的度数；②如图3所示：设所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．依据圆的内角四边形的性质和圆周角定理可求得∠AMB的长，接下来，依据等腰三角形三线合一的性质可得到AG=3，∠AMG=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后依据扇形的弧长公式求解即可；如图4所示：当AE=BF时．依据SAS可证明△AEB≌△BAF，从而得到∠PAB=∠PBA，故此可知点P在AB的垂直平分线上，最后依据特殊锐角三角函数求得CN的长即可．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+．
∵将点A、B的坐标代入得：，解得：a=，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x+．
（2）存在点M使得S△AMB=S△ABC．
如图1所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=60°．
∴CK=3．
∴S△ABC=AB•CK=×6×3=9．
∴S△ABM=×9=12．
设M（x，x2-2x+）．
∴AB•|yM|=12，即×6×（x2-2x+）=12．
解得x1=9，x2=-1．
∴M1（9，4），M2（-1，4）．
（3）①AF=BE，∠APB=120°．
理由：如图2所示；

∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
∵在△BEC和△AFB中
，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-60°=120°．
②如图3所示：当CE=FB时．

∵由①可知：∠APB=120°，
∴点P的运动轨迹是一条弧．
设所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．
∵∠APB=120°，
∴∠AHB=60°．
∴∠AMB=120°．
∵AM=MB，MG⊥AB，
∴AG=BG=3，∠AMG=∠BMG=60°．
∴，即．
∴AM=2．
∴点P运动的路径=．
如图4所示：当AE=BF时．

∵在△ABE和△BAF中
，
∴△ABE≌△BAF．
∴AF=EB，∠FAB=∠EBA．
∴AP=BP．
∴点P在AB的垂直平分线上．
∴点P运动的路线=NC=3．
∴点P经过的路径长为或3．
考点：二次函数综合题．
16．（1）；（2）A（﹣5，0）、B（1，0）；（3）∠PDF=60°．
【分析】（1）先提取公式因式将原式变形为，然后令y=0可求得函数图象与x轴的交点坐标，从而可求得点A、B的坐标，然后依据抛物线的对称性可得到抛物线的对称轴为x=﹣2，故此可知当x=﹣2时，y=，于是可求得m的值；
（2）由（1）的可知点A、B的坐标；
（3）先由一次函数的解析式得到∠PBF的度数，然后再由PD⊥PF，FO⊥OD，证明点O、D、P、F共圆，最后依据圆周角定理可证明∠PDF=60°．
【解析】解：（1）∵，
∴=m（x+5）（x﹣1）．
令y=0得：m（x+5）（x﹣1）=0，
∵m≠0，∴x=﹣5或x=1，
∴A（﹣5，0）、B（1，0），
∴抛物线的对称轴为x=﹣2．
∵抛物线的顶点坐标为为，
∴﹣9m=，∴m=，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可知：A（﹣5，0）、B（1，0）；
（3）∠PDF=60°．理由如下：
如图所示，∵OP的解析式为，
∴∠AOP=30°，
∴∠PBF=60°
∵PD⊥PF，FO⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°，
∴∠DPF+∠FOD=180°，
∴点O、D、P、F共圆，
∴∠PDF=∠PBF，∴∠PDF=60°．
17．（1）顶点A的坐标为（2，1）；（2）
【解析】试题分析：（1）根据抛物线对称轴列方程求出，即可得到抛物线解析式，再根据解析式写出顶点坐标；
（2）设对称轴与轴的交点为E．①求出，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到，然后利用勾股定理列式计算即可；②过点B作AP的垂线，垂足为F，根据抛物线解析式设出点B的坐标，然后表示出，在和中，利用相等的锐角的正切值相等列式求出再求出然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解得到的值，从而得解．
试题解析：（1）抛物线的对称轴为直线，．
顶点A的坐标为（2，1）；
设对称轴与轴的交点为E．①如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，
;
②如图，过点B作AP的垂线，垂足为F，设点，
在和中，

整理得：解得（舍）．

考点：二次函数综合题．
18．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）45°；（3）P（，﹣）．
【解析】试题分析：（1）直接将A，C点坐标代入抛物线解析式求出即可；
（2）首先求出B点坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而利用CO，BO的长求出∠ABC的度数；
（3）利用∠ACB=∠PAB，结合相似三角形的判定与性质得出BP的长，进而得出P点坐标．
解：（1）将点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标（0，﹣3）代入抛物线解析式得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，
解得：x1=﹣1，x2=3，故B点坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：，
故直线BC的解析式为：y=x﹣3，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴BO=OC=3，
∴∠ABC=45°；
（3）过点P作PD⊥x轴于点D，
∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，
∴△ABP∽△CBA，
∴=，
∵BO=OC=3，
∴BC=3，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴=，
解得：BP=，
由题意可得：PD∥OC，
∴DB=DP=，
∴OD=3﹣=，
则P（，﹣）．

考点：二次函数综合题．
19．（1）抛物线的解析式：y=x2-2x-6，顶点D（2，-8）；（2）3＜m＜8．（3）AM的长为4或2．
【解析】试题分析：（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．
试题解析：（1）将A（0，-6）、B（-2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
，
解得．
∴抛物线的解析式：y=x2-2x-6=（x-2）2-8，顶点D（2，-8）；
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x-2+1）2-8+m，
即：y=（x-2+1）2-8+m．它的顶点坐标P（1，m-8）．
由（1）的抛物线解析式可得：C（6，0）．
∴直线AB：y=-3x-6；直线AC：y=x-6．
当点P在直线AB上时，-3-6=m-8，解得：m=-1；
当点P在直线AC上时，1-6=m-8，解得：m=3；
又∵m＞0，
∴当点P在△ABC内时，3＜m＜8．
（3）由A（0，-6）、C（6，0）得：OA=OC=6，且△OAC是等腰直角三角形．
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°．

∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，
即∠NBA=∠OMB．
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；
由勾股定理，得AB2=（-2）2+（-6）2=40，
又∵AN=OA-ON=6-2=4，
∴AM1=40÷4=10，OM1=AM1-OA=10-6=4
OM2=OM1=4
AM2=OA-OM2=6-4=2．
综上所述，AM的长为4或2．
考点：二次函数综合题．
20．（1）；（2）当为直角三角形时，点的坐标为或；（3）存在点，使，点的坐标为或．
【分析】（1）根据平行轴，，点坐标为，可得出点的坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设抛物线的对称轴交于点，此时抛物线的对称轴是的中垂线，根据为直角三角形，可得出及的坐标，分别求出及的函数解析式，结合抛物线可得出点的坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①点在上方，②点在下方，然后根据两角相等，利用三角函数建立方程，解出的值后检验即可得出答案．
【解析】解：（1）由题意得，平行轴，，点坐标为，
故可得点坐标为，
过点、，
可得，
解得：，
故此抛物线的解析式为．

（2）设抛物线的对称轴交于点，
若为直角三角形，则，
可得，，
从而可求得直线解析式为；，直线解析式为：，
将分别代入直线，的解析式，
得①，②、
解①得，（舍，
即；
解②得，（舍，
即；
故当为直角三角形时，点的坐标为或．
（3）设存在点，使得，
①若点在上方，过点作，交于点，
则，、
故，即、
解得，（舍，
故可得点；
②若点在下方，
同理可得．
综上可得存在点，使，点的坐标为或．