人教A版 (2019)选择性必修 第三册第六章 计数原理6.2 排列与组合练习题

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第6章　6.2.3A级——基础过关练1．(多选)下列问题是组合问题的是(　　)A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法B．有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，有多少种不同的结果D．从10个里选3个人去开会，有多少种选法【答案】BCD　【解析】A与顺序有关，是排列问题，B，C，D均与顺序无关，是组合问题．2．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有(　　)A．60种 B．36种C．10种 D．6种【答案】D　【解析】甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人(设为乙1，乙2，乙3，乙4)中选2人即可，有乙1乙2，乙1乙3，乙1乙4，乙2乙3，乙2乙4，乙3乙4共6种不同的选法．3．将2名女教师、4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　)A．24种 B．10种C．12种 D．9种【答案】C　【解析】第一步，为甲地选1名女教师，有2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有6种选法(例举略)；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)．4．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，则所有不同的组合有(　　)A．8个 B．10个C．12个 D．14个【答案】B　【解析】所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10个．5．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有________种．【答案】18　【解析】从4名男医生中选2人，有6种选法(例举略)．从3名女医生中选1人，有3种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为6×3＝18.6．从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法有________种．【答案】70　【解析】根据结果分类：第一类，2台甲型机，有6×5＝30(种)；第二类，2台乙型机，有4×10＝40(种)．根据分类加法计数原理，共有30＋40＝70(种)不同的取法．7．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6的六个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．【答案】　【解析】从编号为1,2,3,4,5,6的六个球中任意取出两个球的方法有15种(例举略)．当两个球编号均为奇数时，得到的编号之积才为奇数，故取出的两个球的编号之积为奇数的方法有3种，则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为＝，所以取出的两个球的编号之积为偶数的概率为1－＝.8．袋中装有大小相同标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球．(1)取出的3球中有2个白球，1个黑球的结果有几个？(2)取出的3球中至少有2个白球的结果有几个？解：(1)设“取出3球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A,4个白球中选2个有6种选法(例举略)，5个黑球选1个有5种选法，∴A共有6×5＝30(种)不同的结果．(2)设“取出3球中至少有2个白球”的所有结果组成集合为B，B包含的情况有2白1黑(由(1)知共有30种不同的结果)，及3白(易知有4种的结果)两种情况，故有30＋4＝34(种)不同的结果．9．从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一次会议，要求至少有1名女生参加，有多少种选法？解：问题可以分成三类．第一类，从5名男生中选出2名男生(例举略)，从4名女生中选出1名女生，有10×4＝40(种)选法；第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生(例举略)，有5×6＝30(种)选法；第三类，从4名女生中选出3名女生(例举略)，有4种选法．根据分类加法计数原理，共有74种选法．B级——能力提升练10．(多选)下列问题是组合问题的是(　　)A．若集合A＝{a，b，c，d}，则集合A中含有3个元素的子集有多少个B．从12本不同的书中取出4本捐给图书馆C．8个人相互写一封信，共写了几封信D．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票【答案】AB　【解析】A集合中的元素具有“无序性”，故它是组合问题．B从7本不同书中，取出5本捐给图书馆，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．C因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．D因为铁路车票有起点、终点之分，所以车票有顺序之分，故它是排列问题．11．现有不同标号的6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是(　　)A．115 B．90C．210 D．385【答案】A　【解析】设6个白球为白1，白2，白3，白4，白5，白6,4个黑球为黑1，黑2，黑3，黑4.依题意根据取法可分为三类：2个黑球2个白球(例举略)，有6×15＝90(种)；3个黑球1个白球(例举略)，有4×6＝24(种)；4个黑球无白球，有1种．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A．12．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，在直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有(　　)A．70个 B．80个C．82个 D．84个【答案】A　【解析】分两类，第1类：从直线a上任取1个点，从直线b上任取2个点(例举略)，共有4×10＝40(种)方法；第2类：从直线a上任取2个点(例举略)，从直线b上任取1个点，共有6×5＝30(种)方法．故满足条件的三角形共有40＋30＝70(个)．13．从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目．若按性别比例采用分层随机抽样，则不同的抽取方法数为(　　)A．24 B．12C．56 D．28【答案】B　【解析】由分层随机抽样知，应从4名女生中抽取2名(例举略)，从2名男生中抽取1名，所以按照分步乘法计数原理知，抽取2名女生和1名男生的方法数为6×2＝12.14．有5名男医生、4名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)A．40种 B．50种C．60种 D．150种【答案】A　【解析】由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有10×4＝40(种)．15．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘，则乘积为偶数的有______个，不同的乘积结果有______个．【答案】7　8　【解析】从五个不同的数中任取两个数共有10种不同的取法，其中乘积为偶数的有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)共7种，又1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．16．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解：可以分三类．第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，从4名只能胜任英语翻译工作中选2名，有6种选法(例举略)，从3名只能胜任德语翻译工作中选2名，有3种选法(例举略)，最后根据分步原理，共有6×3＝18(种)选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，先从4名只能胜任英语翻译工作中选3名，有4种选法(例举略)，再从3名只能胜任德语翻译工作中选1名，有3种选法(例举略)，最后根据分步原理，共有4×3＝12(种)选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，先从4名只能胜任英语翻译工作中选3名，有4种选法(例举略)，再从3名只能胜任德语翻译工作中选2名，有3种选法(例举略)，最后根据分步原理，共有4×3＝12(种)选法．根据分类加法计数原理，一共有18＋12＋12＝42(种)不同的选法．C级——探究创新练17．第21届世界杯足球赛于2018年夏季在俄罗斯举办，共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场(例举略)；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场(例举略)；(3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场(例举略)；(4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场(例举略)；(5)决赛：2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．