5.4　统计与概率的应用

课标要求　利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题.

素养要求　通过统计与概率的应用，培养学生的数学建模、数据分析素养.

1.思考　如何判断一种游戏规则是否公平？

提示　关键是看在这一游戏规则下，每个人获胜的概率是否相等.

2.填空　 概率的应用：概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事件的概率是0～1(包含0，1)之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少发生，而大概率事件(概率接近1)则经常发生.

温馨提醒　概率在实际生活中有着广泛的应用，要善于将实际问题转化为概率模型去解决，求复杂事件的概率一般可分三步进行：

(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们.

(2)理清各事件之间的关系，列出关系式.

(3)根据事件之间的关系，准确地运用概率公式求解，若直接计算符合条件的事件个数较繁琐，可间接地计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后求出符合条件的事件的概率.

3.做一做　某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查________公司的车辆较合理.

答案　乙

解析　由于甲公司桑塔纳的比例为＝，

乙公司桑塔纳的比例为＝，可知应调查乙公司.

题型一　概率在整体估计中的应用

例1 某厂在广告中宣称自己的产品合格率为94%，市场管理人员在市场上随机购买了该产品3件，结果发现均为不合格产品，则该厂是否进行了虚假宣传呢？

解　如果产品合格率为94%，则随机抽取一件产品，不合格的概率应为1－94%＝6%.

此时随机抽取3件，都不合格的概率为6%×6%×6%＝0.021 6%.

一件概率是0.021 6%的事是不太可能发生的，但发生了，因此有理由相信该厂进行了虚假宣传.

思维升华　产品的合格率属实，则抽取检验的产品是次品的事件发生的概率就很小，如果连续若干次检测出次品的事件发生了，即小概率事件连续若干次发生，则该产品的合格率是不可信的.

训练1 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.

解　设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝.①

第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)＝.②

由①②两式，得＝，解得n＝1 500，

所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.

题型二　概率在决策中的应用

例2 如图所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；

(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.

解　(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，

故用频率估计相应的概率为0.44.

(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：

(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.

由(2)知，P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，

所以甲应选择L1.

P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，

P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

P(B2)>P(B1)，

所以乙应选择L2.

思维升华　概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥，对立，相互独立又是概率计算的核心.

(1)游戏规则公平的判断标准为：如果每人获胜的概率相等，那么游戏是公平的.

(2)大概率事件易发生，小概率事件不易发生.

(3)概率在总体估计中的应用.

训练2 一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.这个规则是________的(填“公平”或“不公平”).

答案　不公平

解析　法一　把卡片六个面的颜色记为G1，G2，G3，B1，B2，B3，其中，Gi表示绿色，Bi表示蓝色(i＝1，2，3)；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.游戏所有的结果可以用如图所示.

不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为＝.

因此，这个游戏不公平.

法二　把三张卡片分别记为G，B，M，其中，G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片.

考虑乙抽取到卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢，所以乙赢的概率为.

因此，这个游戏不公平.

题型三　概率的实际应用

例3 下面是一种能解决调查敏感问题的问卷样式.

在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选答案；如果得到反面，请按照问题二勾选答案.(友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果.)

问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？

问题二：捡到东西后是否有据为己有的行为？

□是　　　□不是

(1)如果收回的200份问卷里，有62份答“是”，①那么有多少人回答了问题二？其中又有多少人答“是”呢？

②估计捡到东西据为己有的行为的比例；

(2)回收问卷的多少，对估计捡到东西据为己有的行为的比例是否有重大影响(直观作答，不必说明理由).

解　(1)①由于抛硬币得到正面的概率为，因此可估计出回答问题一的人数为200×＝100；

又因为身份证号码最后一个数是奇数与是偶数的概率都是，因此回答了问题一的人中，答“是”的人数可估计为100×＝50.由此可得，大约有100人回答了问题二，其中约有62－50＝12人答“是”.②也就是说，捡到东西后有据为己有的行为的比例约为12%.

(2)没有重大影响.

思维升华　(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.

(2)统计中的抽样，必须确保总体中每个个体被抽到的可能性相等.

训练3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整，为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查，他们需要在“赞成调整”“反对调整”“对这次调查不发表看法”中任选一项，调查结果如下表：

随机选取一个被调查者，他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少？

解　用A表示事件“对这次调整表示反对”，B表示事件“对这次调整不发表看法”，则A和B是互斥事件，并且A∪B就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”.由互斥事件的概率加法公式，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝0.73.

因此，随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是0.73.

[课堂小结]

1.社会调查问题中概率的应用

(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.

(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.

2.利用概率的意义，可以制定游戏的规则，若每人获胜的概率相等，则游戏公平.

一、基础达标

1.某次考试中，共有12道选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择一个选项正确的概率是.某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话(　　)

A.正确    B.错误

C.不一定    D.无法解释

答案　B

解析　每个题选对的概率是，只表示有的可能性选对，不一定有3道题答对，故这句话错误.

2.某省在校中学生近视率约为37.4%，某配镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为(　　)

A.374副    B.224副

C.不少于225副    D.不多于225副

答案　C

解析　根据概率，该校近视生人数应为37.4%×600＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副.

3.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)

A.0.3   B.0.4   C.0.6   D.0.7

答案　B

解析　设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.

4.(多选)如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的可能性相同(假设指针不会落在分界线上)，下列叙述正确的是(　　)

A.如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形

B.只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号扇形

C.指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等

D.P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1

答案　CD

解析　指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率均为，∴C正确，A，B不正确；由于指针落在分界线上的概率为0，

∴P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＋P(6)＝1，D正确.

5.有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的个数为(　　)

①甲队的每场进球数一定比乙队多；②估计乙队发挥比甲队稳定；③与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球；④甲队的总进球数可能比乙队要多.

A.1   B.2   C.3   D.4

答案　C

解析　当年由于甲队全年比赛进球个数的标准差为21，远远大于乙队进球个数的标准差0.3，说明甲队发挥不稳定，乙队发挥稳定；又当年甲队平均每场进球数5.1，远远大于乙队平均每场进球数0.8，说明当年甲队在很多场比赛中进球很少，也有很多场比赛中进球非常多，而乙队当年大部分比赛都进球，只有少部分比赛中没有进球 ，因此利用当年的比赛情况，可以估计来年的比赛情况：甲队的每场进球数只是可能比乙队多.所以①不正确；②③④正确.

6.给出统计活动的5个步骤，则它们之间正确的顺序是________.

①收集数据；②整理数据；③确定调查对象；④分析数据；⑤作出推断.

答案　③①②④⑤

7.从某地区15 000名老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：

则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人.

答案　60

解析　在容量为500的随机样本中，生活不能自理的老人中男性比女性多2人，则在该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多2÷＝60(人).

8.如果袋中装有数量差别很大的白球和红球(只是颜色不同)，从中无放回地任取1个球，取了100次，得到80个白球，估计袋中数量较多的是________.

答案　白球

解析　取了100次，得到80个白球，则取出白球的频率是＝0.8，估计其概率是0.8，那么取出红球的概率约是0.2，取出白球的概率大于取出红球的概率，所以估计袋中数量较多的是白球.

9.为估计一片大草原中野马的数量，可使用以下方法：先从草原中捕捉一定数量的野马，例如200匹，给每匹马作上记号，然后放回草原.经过适当时间，让其和草原中其余的野马充分混合，再从草原中捕捉一定数量的野马，如100匹，查看其中有记号的马，设有40匹.试根据上述数据，估计该草原上野马的数量.

解　设草原野马的数量为n，将n的估计值记作.假定每匹野马被捕捉的可能性是相等的，从草原中任意捕捉一匹，记事件A为捉到“带有记号的野马”.

由古典概型概率，知P(A)＝.①

第二次从草原中捕捉100匹，观察每匹马上是否有记号，共需观察100次，其中带记号的野马有40匹，即事件A发生的频数m＝40，由概率的统计定义，知

P(A)≈.②

由①②式，得≈，则n≈500，＝500.

所以估计草原中约有野马500匹.

10.某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会形式新颖、气氛热烈，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加(若指针没有指向数字，需再次转动转盘)，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？

解　该方案是公平的，理由如下：

各种情况如表所示：

由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝＝，(2)班代表获胜的概率P2＝＝，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.

二、能力提升

11.(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是(　　)

A.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜

B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜

C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜

D.张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜

答案　ACD

解析　A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，B不符合题意；C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意.

12.玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步.”你认为这个游戏规则公平吗？________.(填“公平”或“不公平”)

答案　不公平

解析　如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所以玲玲先走的概率是，倩倩先走的概率是.所以不公平.

13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，那么“星队”得3分；如果只有一个人猜对，那么“星队”得1分；如果两人都没猜对，那么“星队”得0分.已知甲每轮猜对成语的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求“星队”至少猜对3个成语的概率.

解　记事件A：“甲第一轮猜对”，

记事件B：“乙第一轮猜对”，

记事件C：“甲第二轮猜对”，

记事件D：“乙第二轮猜对”，

记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”.

由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋

ABD＋ABC，

由事件的独立性与互斥性，得

P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋

P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝

P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋

P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋

P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝，

所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

三、创新拓展

14.某公司制造两种电子设备：影片播放器和音乐播放器.在每天生产结束后，要对产品进行检测，故障的播放器会被移除进行修复.下表显示各播放器每天产量的平均数量以及平均故障率.

下面是关于公司每天生产量的叙述：

①每天生产的播放器有三分之一是影片播放器；

②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的；

③如果从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03.

上述叙述正确的是________.

答案　③

解析　①每天生产的播放器有

＝是影片播放器，故①错误；

②在任何一批数量为100的影片播放器中，恰好有4个会是故障的是错误的，4%是概率意义上的估计值，并不能保证每批都恰有4个；

③因为音乐播放器的每天平均故障率为3%，所以从每天生产的音乐播放器中随机选取一个进行检测，此产品需要进行修复的概率是0.03，正确.