高中3.2 基本不等式备课ppt课件

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1 | 两个重要不等式
注意:①对于正数a,b,我们把 称为a,b的算术平均数, 称为a,b的几何平均数.②“当且仅当”的含义:一方面是当a=b时取等号,另一方面是仅当a=b时取等号.
1.对于正数a,b,(1)和a+b为定值s时,积ab有最⑤　大    值,当且仅当a=b= 时取得最大值;(2)积ab为定值p时,和a+b有⑥　小    值,当且仅当a=b= 时取得最小值.上述结论可归纳为“和定积最大,积定和最小”.2.在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正——各项均为正数;二定——和或积为定值;三相等——等号成立的条件.
2 | 基本不等式与最值
已知a,b为正实数,则 ≥ ≥ ≥ (当且仅当a=b时,等号成立),其中 称为平方平均数, 称为调和平均数.
3 | 基本不等式链
1.不等式a2+b2≥2ab与 ≤ 有相同的适用范围. (    ✕　)提示:不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,而 ≤ 只有当a,b都是正数(特殊时可取0)时成立.2.若x>0,则y=x+ 的最小值是4. (　√　)提示:因为x>0,所以y=x+ ≥2 =2 =4(当且仅当x=2时,等号成立)+ 的最小值为2. (    ✕　)提示:当x>0时,y=x+ 的最小值为2.4.6和8的几何平均数为2 . (    ✕　)5.一个矩形的对角线长为10,则矩形的面积最大为60. (    ✕　)
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
提示:设矩形的长和宽分别为x,y,则x2+y2=100.于是矩形的面积S=xy≤ =50,当且仅当x=y=5 时,等号成立.故矩形的面积最大为50.
1 | 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的基本方法利用基本不等式求最值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,并保证等号成立.常见的方法技巧如下:(1)拆(裂项、拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件.(2)并(分组并项):分组后各组可以单独应用基本不等式或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值.
(4)换(常值代换、变量代换):对条件变形,以进行代换,从而构造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求 + 的最小值”和“已知 + =m(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两种类型.
(3)配(配式配系数,凑出定值):根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.
利用基本不等式求最值的注意事项1.函数式中的各项必须都是正数,在异号时不能运用基本不等式,在同负时可以先进行转化,再运用基本不等式;2.函数式中含变量的各项的和或积必须是常数;3.考虑等号成立的条件是否具备,等号不成立时可用图象找出最大(小)值.函数y=x+ (a>0)的大致图象如图. 
(1)已知a,b,x,y均为正数,且 + =1,求x+y的最小值;(2)已知x>0,y>0,且x+2y+xy=30,求xy的最大值.
思路点拨(1)采用常值代换的方法求解,也可以进行变量代换,再利用基本不等式求解;(2)变量代换,将y用x表示出来,计算xy,利用基本不等式求解.
解析    (1)解法一:x+y=(x+y) =a+b+ + ≥a+b+2 ,当且仅当 即 时,等号成立.故x+y的最小值为a+b+2 .解法二:由 + =1得x= ,∴x+y= +y= +y=a+ +y= +(y-b)+a+b.∵x>0,y>0,a>0,∴由 >0得y-b>0.∴x+y≥2 +a+b,
当且仅当 即 时,等号成立.故x+y的最小值为a+b+2 .(2)由x+2y+xy=30,得y= (0