初中数学苏科版七年级下册第8章 幂的运算综合与测试学案设计

这是一份初中数学苏科版七年级下册第8章 幂的运算综合与测试学案设计，共26页。学案主要包含了题型1同底数幂相乘，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，题型1幂的乘方运算，题型3积的乘方运算等内容，欢迎下载使用。
【题型1同底数幂相乘】（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）计算b3•b4＝_____．
【变式1-1】（2022·吉林农安·八年级期末）化简：（﹣x）2（﹣x）3＝_____．
【变式1-2】（2022·全国·七年级）计算的结果等于________．
【变式1-3】（2021·山东阳信·八年级期中）已知，那么的值为__________．
【题型2同底数幂乘法的逆用】（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am＝10，an＝6，则am+n＝_____．
【变式2-1】（2021·吉林九台·八年级期中）若，，则______________．
【变式2-2】（2021·上海奉贤·七年级期中）我们学习了幂的意义，知道an表示n个a相乘，并且由an＝m，知道a和n可以求m．我们不妨思考，如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．如果[3，x]＝m，[3，y]＝m+2，那么y＝___．（用含x的代数式表示y）
幂的乘方与积的乘方
【题型1幂的乘方运算】（2021·四川成都·七年级期末）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为______．
【变式1-1】（2021·吉林朝阳·八年级期末）若，，则______．
【变式1-2】（2022·辽宁大石桥·八年级期末）已知，则_______．
【题型2幂的乘方运算的逆用】（2022·甘肃西峰·八年级期末）若，，则=______________．
【变式2-1】（2021·江苏海安·八年级期中）已知3x+1＝27，则x＝___．
【变式2-2】（2021·广东·深圳市高级中学七年级期末）已知2x+5y﹣3＝0，则_____．
【题型3积的乘方运算】（2021·上海虹口·七年级期末）计算：_______．
【变式3-1】（2021·吉林·八年级期末）计算：______．
【变式3-2】（2022·全国·七年级）若，则_______．
【题型4积的乘方运算的逆用】（2021·湖北·仙桃荣怀学校八年级阶段练习）计算：_______
【变式4-1】（2021·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）若 + =0，则 ________．
【变式4-2】（2021·上海黄浦·七年级期中）已知xm＝2，xn＝5，则x3m＋n＝___．
【变式4-3】（2021·上海市西延安中学七年级期中）已知25m•2•10n＝57•26，则mn＝___．
同底数幂的除法
【题型1同底数幂的除法】（2021·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级阶段练习）计算的结果是___．
【变式1-1】（2021·吉林·长春市八年级阶段练习）已知2m＝3，2n＝5，则22m﹣2n的值是 ___．
【变式1-2】（2021·江苏南通·八年级期中）已知x、y为正整数且y＝5x，则 ＝______．
【题型2同底数幂除法的逆用】（2021·广东南沙·八年级期末）已知a2m﹣n＝2，am＝3，则an的值是 _____．
【变式2-1】（2021·贵州思南·八年级期中）若a3m＝2，a2n＝3，（m，n都是整数），则a6m﹣4n的值为 ___．
【变式2-2】（2021·山东阳谷·七年级期末）已知，，则_______．
【题型3幂的混合运算】（2021·四川东坡·八年级期中）计算：________．
【变式3-1】（2021·上海徐汇·七年级阶段练习）__．
【变式3-2】（2021·山东沂水·八年级期末）计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝______．
【题型4零指数幂、负指数幂】（辽宁省营口市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）计算：+20210＝_____．
【变式4-1】（2021·广东·常春藤国际学校八年级期末）计算：|﹣2|﹣20210＋（）﹣1＝______________．
【变式4-2】（2021·甘肃白银·七年级期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为_________．
【题型5科学记数法】（吉林省吉林市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）新型冠状病毒的直径约为，数0.0000001用科学记数法表示为________．
【变式5-1】（2022·陕西陇县·八年级期末）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm=0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为______.
【变式5-2】（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是____________．
幂的运算易错点
易错点1 在幂的运算中符号处理不当
1.计算的结果是( )
A. B.
C. D.
2.计算: .
易错点2 在计算中，忽视指数为“1”的幂
3.计算: .
易错点3 幂的乘方与积的乘方分不清
4.计算: .
5.计算: = .
易错点5 对负整数指数幂的含义理解不透彻
6.下列计算:(1)10－4=0.000 01; (2) ;(3) .其中错误的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
易错点6 忽视零指数幂与负整数指数幂成立的前提条件
7.填空:
(1) 中字母的取值范围是 .
(2) 中字母的取值范围是 .
(3) 中字母的取值范围是 .
【题型1同底数幂相乘】（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）计算b3•b4＝_____．
【答案】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则即可得．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式1-1】（2022·吉林农安·八年级期末）化简：（﹣x）2（﹣x）3＝_____．
【答案】
【分析】
先按照同底数幂的乘法进行运算可得 再利用乘方的含义确定结果的符号即可.
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法，掌握“同底数幂的乘法的运算法则及结果的符号的确定”是解本题的关键.
【变式1-2】（2022·全国·七年级）计算的结果等于________．
【答案】
【分析】
根据同底数幂相乘法则和合并同类项法则计算即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂相乘，解题关键是熟记同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加．
【变式1-3】（2021·山东阳信·八年级期中）已知，那么的值为__________．
【答案】
【分析】
根据同底数幂的乘法法则可得，由此即可得．
【详解】
解：，
则，
所以，
解得，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
【题型2同底数幂乘法的逆用】（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am＝10，an＝6，则am+n＝_____．
【答案】60
【分析】
逆用同底数幂乘法法则即可解题．
【详解】
解：am+n=am·an=106=60．
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
【变式2-1】（2021·吉林九台·八年级期中）若，，则______________．
【答案】
【分析】
根据题意直接逆用同底数幂的乘法进行分析计算即可.
【详解】
解：.
故答案为：.
【点睛】
本题考查逆用同底数幂的乘法，熟练掌握是解题的关键.
【变式2-2】（2021·上海奉贤·七年级期中）我们学习了幂的意义，知道an表示n个a相乘，并且由an＝m，知道a和n可以求m．我们不妨思考，如果知道a，m，能否求n呢？对于an＝m，规定[a，m]＝n，例如：62＝36，所以[6，36]＝2．如果[3，x]＝m，[3，y]＝m+2，那么y＝___．（用含x的代数式表示y）
【答案】
【分析】
理解[a，m]＝n运算的含义，再根据[3，x]＝m，[3，y]＝m+2得到，，根据同底数幂乘法的逆用求解即可．
【详解】
解：根据题意可得：由[3，x]＝m可得，
由[3，y]＝m+2可得
故答案为
【点睛】
此题考查了同底数幂乘法的逆用，解题的关键是理解题意并掌握同底数幂乘法的运算法则．
幂的乘方与积的乘方
【题型1幂的乘方运算】（2021·四川成都·七年级期末）已知：m+2n﹣2＝0，则3m•9n的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则的逆运用，即可求解．
【详解】
解：∵m+2n﹣2＝0，
∴m+2n＝2，
∴3m•9n=3m•（32）n=3m+2n=32=9，
故答案是：9．
【点睛】
本题主要考查乘方法则以及同底数幂的乘法法则，熟练掌握掌握两个法则的逆运用是解题的关键．
【变式1-1】（2021·吉林朝阳·八年级期末）若，，则______．
【答案】20
【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法、幂的乘方的性质，结合代数式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵，
∴
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握了同底数幂乘法、幂的乘方的性质，从而完成求解．
【变式1-2】（2022·辽宁大石桥·八年级期末）已知，则_______．
【答案】32
【解析】
【分析】
根据幂的乘方进行解答即可．
【详解】
解：由2x+5y-3=2可得：2x+5y=5，
所以4x•32y=22x+5y=25=32，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查幂的乘方，关键是根据幂的乘方法则解答．
【题型2幂的乘方运算的逆用】（2022·甘肃西峰·八年级期末）若，，则=______________．
【答案】90
【解析】
【分析】
跟胡同底数幂的乘法和幂的乘方公式的逆运算，即可求解．
【详解】
解：=，
故答案是：90．
【点睛】
本题主要考查同底数幂的乘法和幂的乘方公式，熟练掌握它们的逆运用是解题的关键．
【变式2-1】（2021·江苏海安·八年级期中）已知3x+1＝27，则x＝___．
【答案】2
【解析】
【分析】
把27转化为33，从而可得x+1＝3，即可求解．
【详解】
解：3x+1＝27，
则3x+1＝33，
故x+1＝3，
解得：x＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查幂的乘方，解答的关键是对幂的乘方的法则的掌握．
【变式2-2】（2021·广东·深圳市高级中学七年级期末）已知2x+5y﹣3＝0，则4x•32y＝_____．
【答案】8
【解析】
【分析】
根据幂的乘方的逆运算进行解答即可．
【详解】
解：因为2x+5y﹣3＝0，
可得：2x+5y＝3，
所以4x•32y＝22x•25y＝22x+5y＝23＝8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了幂的乘方，关键是根据幂的乘方的逆运算进行分析．
【题型3积的乘方运算】（2021·上海虹口·七年级期末）计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据积的乘方等于各个因式的乘法，再用幂的乘方法则进行计算．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查幂的乘方与积的乘方公式，掌握计算公式是解题的关键．
【变式3-1】（2021·吉林·八年级期末）计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】
先利用积的乘方计算，后转化为单项式乘以单项式计算即可．
【详解】
原式
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，熟练掌握公式的计算法则是解题的关键．
【变式3-2】（2022·全国·七年级）若，则_______．
【答案】15
【解析】
【分析】
利用积的乘方运算法则对所求式子进行化简，然后整体代入即可．
【详解】
解：∵an＝3，bn＝5，
∴（ab）n＝an•bn＝3×5＝15．
故答案为：15．
【点睛】
此题考查的是积的乘方运算，熟练掌握它的运算法则是解决此题关键．
【题型4积的乘方运算的逆用】（2021·湖北·仙桃荣怀学校八年级阶段练习）计算：_______
【答案】
【解析】
【分析】
先把原式化为，再计算乘方运算，再算乘法运算，即可得到答案.
【详解】
解：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是同底数幂的乘法的逆运算，积的乘方运算的逆运算，掌握“”是解本题的关键.
【变式4-1】（2021·黑龙江省八五四农场学校八年级期末）若 + =0，则 ________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根据绝对值的性质求出a，b的值，再进行积的乘方运算即可．
【详解】
解：∵ + =0，
∴，
∴
∴
故答案为：-1
【点睛】
本题主要考查了积的乘方逆运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式4-2】（2021·上海黄浦·七年级期中）已知xm＝2，xn＝5，则x3m＋n＝___．
【答案】
【解析】
【分析】
根据逆用幂的乘法与积的乘方进行计算即可．
【详解】
xm＝2，xn＝5，
x3m＋n
故答案为：
【点睛】
本题考查了幂的乘法与积的乘方，掌握幂的乘法与积的乘方是解题的关键．
【变式4-3】（2021·上海市西延安中学七年级期中）已知25m•2•10n＝57•26，则mn＝___．
【答案】5
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则的逆运算整理等式，根据指数对应相等列出方程组分别求出m和n的值，然后代入mn求解即可．
【详解】
解：∵25m•2•10n＝57•26，
∴
解得：，
∴．
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法运算法则，幂的乘方运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则的逆运算整理等式．
同底数幂的除法
【题型1同底数幂的除法】（2021·重庆市万盛经济技术开发区溱州中学八年级阶段练习）计算的结果是___．
【答案】
【分析】
利用同底数幂的除法法则求解即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握运算法则．
【变式1-1】（2021·吉林·长春市第八十七中学八年级阶段练习）已知2m＝3，2n＝5，则22m﹣2n的值是 ___．
【答案】
【分析】
根据幂的相关运算法则求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查幂的乘方运算以及同底数幂除法运算等，掌握幂的基本运算法则是解题关键．
【变式1-2】（2021·江苏南通·八年级期中）已知x、y为正整数且y＝5x，则 ＝______．
【答案】1
【分析】
由可得，再由进行求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方的逆运算，零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
【题型2同底数幂除法的逆用】（2021·广东南沙·八年级期末）已知a2m﹣n＝2，am＝3，则an的值是 _____．
【答案】
【分析】
根据同底数幂的运算法则及幂的乘方即可求出答案．
【详解】
解：∵，，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查同底数幂的除法及幂的乘方，熟练掌握运算法则，学会变形是解题关键．
【变式2-1】（2021·贵州思南·八年级期中）若a3m＝2，a2n＝3，（m，n都是整数），则a6m﹣4n的值为 ___．
【答案】
【分析】
直接利用同底数幂的除法以及幂的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】
解：∵a3m=2，a2n=3，
∴a6m-4n
=a6m÷a4n
=（a3m）2÷（a2n）2
=22÷32
=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的除法运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【变式2-2】（2021·山东阳谷·七年级期末）已知，，则_______．
【答案】
【分析】
逆向运用同底数幂的除法法则计算即可，同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【详解】
解：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂的除法的逆运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【题型3幂的混合运算】（2021·四川东坡·八年级期中）计算：________．
【答案】4x
【分析】
结合幂的有关运算法则计算即可．
【详解】
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了幂的混合运算，先去括号，再算乘除，再算加减，同底数幂相乘底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减．
【变式3-1】（2021·上海徐汇·七年级阶段练习）__．
【答案】
【分析】
根据同底数幂的乘除法进行计算即可．
【详解】
解：原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘除法，掌握幂的运算是解题的关键．
【变式3-2】（2021·山东沂水·八年级期末）计算：（2x）3•（﹣x）4÷x2＝______．
【答案】8x5
【分析】
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
【详解】
解：原式＝8x3•x4÷x2
＝8x7÷x2
＝8x5．
故答案为：8x5．
【点睛】
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【题型4零指数幂、负指数幂】（辽宁省营口市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）计算：+20210＝_____．
【答案】26
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂和零指数幂的计算法则求解即可．
【详解】
解：，
故答案为：26．
【点睛】
本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
【变式4-1】（2021·广东·常春藤国际学校八年级期末）计算：|﹣2|﹣20210＋（）﹣1＝______________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先化简绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可
【详解】
解：|﹣2|﹣20210＋()﹣1
=2-1+2
=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了有理数的意义，熟练掌握绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义是解答本题的关键，非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．
【变式4-2】（2021·甘肃白银·七年级期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出各数的值，再比较大小即可．
【详解】
解：∵，，；
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了负指数、0指数和乘方运算，解题关键是熟记负指数、0指数和乘方运算的法则，准确进行计算．
【题型5科学记数法】（吉林省吉林市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）新型冠状病毒的直径约为，数0.0000001用科学记数法表示为________．
【答案】1×10﹣7
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.0000001＝1×10﹣7，
故答案是：1×10﹣7．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式5-1】（2022·陕西陇县·八年级期末）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm=0.000000001m，则7nm用科学记数法表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值小于1的数的科学记数法的表示形式为：，，n为正整数，n的值由原数中左起第一个非零数之前的零的个数确定，据此计算即可得．
【详解】
解：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查绝对值小于1的数的科学记数法，熟练掌握科学记数法的变换方法是解题关键．
【变式5-2】（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，0.000000076用科学记数法表示是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.000000076=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．