数学人教B版 (2019)4.1.1 条件概率教案

这是一份数学人教B版 (2019)4.1.1 条件概率教案，共7页。
4.1　条件概率与事件的独立性4.1.1　条件概率学 习 目 标核 心 素 养1．在具体情境中，了解条件概率．(难点)2．掌握条件概率的计算方法．(重点)3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(易错点)1．通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养．2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养.情境导学高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员．问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？1．条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)＝思考：P(A|B)与P(B|A)相同吗？[提示]　不同，前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率，而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率．2．条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1. (　　)(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生． (　　)(3)P(B|A)≠P(A∩B)．  (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.A　[由P(B|A)＝＝＝，故选A.]3．(教材P43例3改编)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．0.5　[根据条件概率公式知P＝＝0.5.]4．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．　[法一：在第一次取到不合格以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件次品，故第二次再次取到不合格产品的概率为.法二：第一次取到不合格的概率为P1＝＝，两次都取到不合格品的概率为P2＝＝.∴所求概率P＝＝＝.]合作探究 利用定义求条件概率【例1】　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；(2)求P(B|A)．[思路点拨]　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．[解]　由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝，P(B)＝＝＝，P(A∩B)＝＝.(2)P(B|A)＝＝＝.1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(A∩B)；(3)代入公式求P(B|A)＝.2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．1．(一题两空)甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.　　[由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.]利用基本事件个数求条件概率【例2】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.(2)因为n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝.(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝.法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝.(变结论)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C.n(A)＝A×A＝20，n(A∩C)＝A×A＝8，∴P(C|A)＝＝＝.1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．条件概率的综合应用[探究问题]先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？并求出此概率．[提示]　设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C.则所求事件为B∪C|A.∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.【例3】　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．[思路点拨]　(1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对；(2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解．[解]　设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(1A2)表示不超过2次按对密码．(1)因为事件A1与事件1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)＝＋＝.1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．2．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．[解]　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.所以P(B|A)＝＝÷＝， P(C|A)＝＝÷＝.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的条件概率为.课堂小结对条件概率计算公式的两点说明1．如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；2．已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝＝＝.1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)A．0.2　　　 B．0.33　　　C．0.5 D．0.6A　[记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.]2．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是(　　)A.　　　B.　     C.　　　D.B　[抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4个基本事件，所求概率为.]3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.　[∵P(A∩B)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.]4．某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．　[设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则P(A)＝，P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.]5．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．[解]　设事件A为“周日值班”，事件B为“周五值班”，事件C为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，P(AC)＝，所以P(B|A)＝＝，P(C|A)＝＝.故他在周六晚上或周五晚上值班的概率为P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝.