数学北师大版 (2019)第五章 函数应用1 方程解的存在性及方程的近似解1.1 利用函数性质判定方程解的存在性课时作业

利用函数性质判定方程解的存在性

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有(　　)

A．0个 B．1个

C．2个 D．不能确定

C　[由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0.所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．]

2．函数f(x)＝4x－2x－2的零点是(　　)

A．(1,0) B．1

C． D．－1

B　[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1.]

3．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,2)

C．(2,4) D．(4，＋∞)

C　[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6＞0，f(2)＝3－1＝2＞0，f(4)＝－log24＝－2＝－＜0.由零点存在定理可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点．]

4．函数f(x)＝ln x－的零点的个数是(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

C　[如图，画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．

故函数f(x)＝ln x－的零点有2个．]

5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f(a)·f(b)＜0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)

A．至少有一实数根 B．至多有一实数根

C．没有实数根 D．必有唯一的实数根

D　[由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)·f(b)＜0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D.]

二、填空题

6．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．

－3　[设函数f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2.又因为x1＝1，所以x2＝－3.]

7．函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________．

3　[由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．

由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．]

8．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．

(1，＋∞)　[f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.]

三、解答题

9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝x2＋2x＋4.

[解]　(1)令f(x)＝0即＝0，故x＝－3.

所以函数f(x)＝的零点是－3.

(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故函数f(x)＝x2＋2x＋4无零点．

10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？

[解]　有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－<0，f(0)＝20－02＝1>0，

且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，

所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．

11．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　)

A．a>0 B．a≤0

C．a≥0 D．a<0

B　[函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.]

12．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为(－1,0)

B．f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为－1

C．函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点

D．函数y＝f(x)的零点，即y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标

BD　[根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1(x∈[－2,0])的零点为－1；函数y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法BD正确，AC错误．]

13．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，b＝________.

1　2　[∵函数f(x)＝3x＋x－5，∴f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)f(2)<0，且函数f(x)在R上单调递增，∴f(x)的零点x0在区间(1,2)内．∴a＝1，b＝2.]

14．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．

3　0　[因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.]

15．已知函数f(x)＝x＋－.

(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是单调函数；

(2)证明：f(x)有零点；

(3)设f(x)的零点x0落在区间内，求正整数n的值．

[解]　(1)证明：显然，f(x)的定义域为(0，＋∞)．

任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，x1x2>0，则－＝>0，x1>x2，即x1－x2>0，所以f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋>0，所以f(x1)>f(x2)．故f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．

(2)证明：因为f(1)＝0＋－＝－8<0，f ＝4＋8－＝>0，所以

f(1)·f <0，又因为f(x)在区间上是连续的，所以f(x)有零点．

(3)f ＝＋－

＝log211－3>log28－3＝0，

f ＝＋5－

＝log210－＝log25－＝log2－log2<0，

所以f f <0，

所以f(x)的零点x0落在区间内．故n＝10.