专题14.24 因式分解-分组分解法（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

专题14.24  因式分解-分组分解法（知识讲解）

【学习目标】

1、认识分组分解法的基本类型一三分组法和二四分组法；

2、能进行基本的分组分解法。

【要点梳理】

 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：

 【典型例题】

类型一、分组分解法 

1．阅读材料，回答问题：

材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．

如“”分法：

请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：

分解因式：（1）；         （2）．

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；

（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可.

解：（1）

．

（2）

．

【点睛】本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．

举一反三：

【变式1】分解因式：

【答案】

【分析】先分组，然后利用提公因式法和平方差公式因式分解即可．

解：

=

=

=

=．

【点拨】此题考查的是因式分解，掌握利用分组分解法、提公因式法和公式法因式分解是解题关键．

举一反三：

【变式2】分解因式：

【答案】

【分析】

利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．

 解：

=

=

=

=

【点拨】此题考查的是因式分解，掌握利用完全平方公式和平方差公式因式分解是解题关键．

类型二、分组分解法综合练习 

2．因式分解：

(1)        (2)

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）将前两项分为一组，后两项分为一组，利用分组分解法进行分解即可；

（2）把前两项放在一起，后两项放在一起，然后分别提取公因式，利用分组分解法进行即可．

解：（1）

=

=

=；

（2）

=

=

=．

【点拨】本题考查了利用分组分解法进行因式分解，正确进行分组是解题的关键．

举一反三：

【变式】用分组分解法分解下列因式：

（1）                     （2）

（3）                  （4）

（5）                   （6）

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

【分析】利用分组分解法运算即可．

 解：（1）

=

=；

（2）

=

=

=；

（3）

=

=

=；

（4）

=

=

=；

（5）

=

=；

（6）

=

=

=

【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解此题的关键．

类型三、分组分解法的应用

3 阅读材料：若，求、的值．

解：∵，

∴

∴，

∴

∴．

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）已知，求的值；

（2）已知△ABC的三边长、、都是正整数，且满足，求△ABC边的最大值．

【答案】（1）-4；（2）8

【分析】

（1）通过阅读材料，学会用按公式分组，利用公式化为两个非负数的和，利用非负数的性质来解即可，

（2）用按公式分组，利用公式化为两个非负数的和，利用非负数的性质来求出的值，利用三边关系求满足条件的最大整数即可．

 解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

（2）∵，

∴，

∴，

∴，，

∵是的三边，

∴，

∴又∵为正整数，

∴的最大值为8．

【点拨】本题考查阅读理解与应用解题问题，关键是从阅读中学会分组的方法，会用公式边非负数的和，会解非负数和的方程，会用三角形三边关系取值．

4.阅读材料

对式子可以变化如下：原式此种变化抓住了完全平方公式的特点，先加一项，使这三项成为完全平方式，再减去加的项，我们把这种变化叫配方．

请仔细体会配方的特点，然后尝试用配方解决下列问题：

（1）分解因式：；

（2）无论取何值，代数式总有一个最小值，请尝试用配方求出它的最小值．

【答案】（1）；（2）的最小值为2018．

【分析】

（1）根据配方法和平方差公式，即可分解因式；

（2）根据配方法，把原式化为，进而即可求解．

解：（1）原式

；

（2）原式

，

，

∴的最小值为2018．

【点拨】本题主要考查分解因式以及求代数式的最值，掌握配方法和平方差公式是解题的关键．