高中数学人教版新课标A必修5第三章 不等式3.4 基本不等式学案

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3.4基本不等式的证明(1)【学习导航】 知识网络          学习要求 　1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.  2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.  　　　　3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.【课堂互动】自学评价１．              算术平均数：　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２．              几何平均数　　　　　　　　　    　　　　　　　　　　　　　　　　　　３．              设a≥0,b≥0则与的关系为　　　　　　　　　　　　　 ４．              基本不等式的证明方法：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【精典范例】例1．.设a、b为正数, 求证明：       点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．３．把不等式 (a≥0,b≥0)称为基本不等式 4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1)    已知a>0,求证 a+    (2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac .(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (        点评：1..基本不等式的变形公式：(1) (2) (3) (4) 2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．思维点拔：1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则(n>1,nN)追踪训练１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．（１）２与８（２）３与１２（３）Ｐ与９Ｐ（４）２与２２．已知a>1求证a+≥3    ３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥    ４．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: ．