华师大版九年级上册24.3 锐角三角函数综合与测试习题

这是一份华师大版九年级上册24.3 锐角三角函数综合与测试习题，共23页。试卷主要包含了0分），按以下步骤作图，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。
 24.3锐角三角函数同步练习华师大版初中数学九年级上册一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）下列式子错误的是    A.  B.
C.  D. 如图，在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A与点C重合，折痕与AB交于点M，与CD交于点N，则线段MN的长是【    】A. 5
B. 12
C.
D. 如图，E是矩形ABCD的对角线AC上一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若，，则的值      A. 等于
B. 等于
C. 等于
D. 随点E位置的变化而变化
 当锐角的时，的值为A. 小于 B. 小于 C. 大于 D. 大于如图，网格中小正方形的边长都为1，点A，B，C在正方形的顶点处，则的值为A.
B.
C.
D. 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别为CD，BC上的点，若，，，则CE的长度为
A.  B.  C.  D. 如图，在中，，于点若，则   
A.  B.  C.  D. 如图，在中，边OC在x轴上，点，点按以下步骤作图：分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；作直线EF，交AB于点H；连接OH，则OH的长为    A.  B.  C.  D. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上，则的值为A.  B.  C.  D. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点处，交AD于点E，则下列结论不一定成立的是    A. ∽
B.
C.
D.
 如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知，，则的值为
A.  B.  C.  D. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算时，如图，在中，，，延长CB至点D，使，连接AD，得，所以类比这种方法，计算．的值为   
A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）若和为的内角，，则是          三角形．如图，在中，，点D为AB边的中点，连接CD，若，，则的值为______．


  已知直线，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，，，则的值等于_______．
  如图，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正弦值是          ．


  如图，在矩形ABCD中，，，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么的值是______．
   三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）先化简，再求代数式的值：，其中．






 计算：；
化简：．






 计算：．
解方程：．






 如图所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为，点B在第一象限内，，．求：点B的坐标；的值．






 问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出或构造出一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得，则，连接DM，那么就变换到中．
问题解决
直接写出图1中的值为______；
如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求的值；
思维拓展
如图3，，，点M在AB上，且，延长CB到N，使，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求的度数．







 如图所示，点，轴于点将绕点A逆时针旋转得到，求的正弦值和余弦值．


  







答案和解析1.【答案】D
 【解析】【分析】
本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系有关知识，根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．
【解答】
解：，式子正确；
B.，式子正确；
C.正确；
D.，，则错误．
故选D．  2.【答案】D
 【解析】【分析】
本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，能正确求得ON的长度是解决本题的关键，根据矩形的性质和已知条件由勾股定理可求得AC的长度，进一步根据折叠变换的性质及锐角三角函数的定义得到
，即可得到ON的长度，再根据ASA证得≌，从而得到，即可得到MN的长度．
【解答】
解：由题意可知，MN为折线，点A与点C重合，
，，
矩形ABCD，，，，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，

≌，
，
．
故选D．  3.【答案】A
 【解析】【试题解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求的正切值转化为求的正切值来解答的．根据题意推知，由该平行线的性质推知∽，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．
【解答】
解：，
∽，

．
设，，
，
，
，
．
故选A．  4.【答案】A
 【解析】【试题解析】【分析】
本题考查锐角三角函数，属于中档题
由定义得到一个锐角的余弦值随角增大而减小，结合求解即可．
【解答】
解：如图，，

则，，
显然，
则，
又，
则一个锐角的余弦值随角增大而减小，
又，则一定小于．
故选：A．  5.【答案】D
 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，余弦函数的定义及面积法求线段的长，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用面积法求出线段DE的长．
如图，作于点E，分别利用勾股定理求出BC、CD的长度，利用面积法求出DE的长度，再利用勾股定理求出CE的长，然后可求出的值．【解析】解：如图，作于点E．由勾股定理得，，，，，，，．
故选D．  6.【答案】D
 【解析】解：，，
，，
，
，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
由锐角三角函数定义得，再由，，推出，则，即可求出CE的长．
本题考查了矩形的性质、锐角三角函数定义等知识，求出是解决问题的关键．
 7.【答案】D
 【解析】略
 8.【答案】B
 【解析】【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角函数以及勾股定理，综合运用所学知识解决问题是解题的关键．
延长BA交y轴于点M，根据点A的坐标，求出AM，OM，AO，根据三角函数求出的度数，进而求出的度数，根据线段垂直平分线的性质，求出HB的长度，进一步得到AH，MH，接下来在中利用勾股定理即可求出OH的长度．
【解答】
解：延长BA交y轴于点M，则轴，如图所示：

点，
，，
在中，，，
，
，
为BC的垂直平分线，，
，，
，
点，
，
，
，
在中，，
故选B．  9.【答案】D
 【解析】【试题解析】【分析】
本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出的值．
过点A、B分别作轴，轴，垂足为D、E，点A，B落在函数，的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】
解：过点A、B分别作轴，轴，垂足为D、E，

点A在反比例函数上，点B在上，
，，
又，
，
，
，
∽，
，

设，则，，
在中，
故选：D．  10.【答案】A
 【解析】略
 11.【答案】A
 【解析】【分析】
本题考查矩形的性质，翻折变换以及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．根据折叠的性质和锐角三角函数的概念来解决．
【解答】
解：四边形ABCD是矩形，
，，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
在中，，
由同角的余角相等，可得，
，
∽，
，
．
故选A．  12.【答案】B
 【解析】解：如图，在中，，，
延长CB至点D，使，连接AD，得，
设，则， 
．
故选B．
 
 13.【答案】等腰直角
 【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值和非负数的性质熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理．先根据非负数的性质确定，，再根据特殊角的三角函数和三角形内角和定理解答．【解答】
解： ，
，，
故，，
则，，
故，
故是等腰直角三角形．  14.【答案】
 【解析】解：过点D作，垂足为E，
，，
，
又点D为AB边的中点，
，
在中，，
故答案为：．
过点D作，由平行线平分线段定理可得E是BC的中点，再根据三角函数的意义，可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提，作高构造直角三角形是常用的方法．
 15.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的定义有关知识，过点C作于点E，延长EC交于点F，根据同角的余角相等求出，利用两角对应相等的两三角形相似证明∽，再由相似三角形对应边成比例可得，然后在中利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，

过点C作于点E，延长EC交于点F．
在矩形ABCD中，，
，，
，
又，
∽，
，
即，
，
在中，
，
．
故答案为．  16.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：、、，
，
为直角三角形，且，
则，
故答案为．  17.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查的是翻折变换的性质、余弦的概念，掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
根据翻折变换的性质得到，，根据矩形的性质得到，根据余弦的概念计算即可．
【解答】
解：由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为．  18.【答案】解：原式．

，当时，原式．
 【解析】见答案
 19.【答案】解：原式

；

原式

．
 【解析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，零指数幂进行计算，再算加减即可；
先算括号内的加法，再把除法变成乘法，最后算乘法即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的混合运算等知识点，能正确运用实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 20.【答案】解：


；
，
两边同时乘以去分母得：
，
解得：，
检验：当时，，
原分式方程的解为．
 【解析】根据零指数幂的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义进行计算，即可得出结果；
两边同时乘以去分母得到整式方程，解整式方程，检验后即可得到分式方程的解．
本题考查了实数的运算，解分式方程，掌握零指数幂的意义，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义及会把分式方程转化为整式方程是解决问题的关键．
 21.【答案】解：如图所示，过B作轴，垂足为C，
  ，，在中，，   点坐标为 ，，， 在中，，．
 【解析】本题考查坐标与图形性质、锐角三角形函数的定义、勾股定理，进行逻辑推理能力和运算能力，还考查在平面直角坐标系中点的坐标的确定．
作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据“，”可以求出，再根据勾股定理求出OC的长，即可求出B的坐标．
根据点A的坐标求出OA的长，即可求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长，利用余弦的定义求出答案．
 22.【答案】解：；
如图2中，取格点D，连接CD，DM．

，
，
是等腰直角三角形，
，
．
如图3中，取格点H，连接AH、HN．

，
，
，，
，
．
 【解析】解：如图1中，

，
，
，
，
，
故答案为2．
见答案；
见答案．
连接格点M，N，可得，则，连接DM，那么就变换到中．
如图2中，取格点D，连接CD，那么就变换到等腰中．
利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；
本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
 23.【答案】解： 轴于点B，点，
，，
．
又将绕点A逆时针旋转得到，
，
，
，
．
 【解析】见答案．