人教版四年级下册5 三角形综合与测试教学设计

人教版数学四升五数学衔接讲义（复习进阶）

专题05 三角形

知识点一：三角形的特性

1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。

2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。

重点：三角形高的画法：一落二移三画四标

3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。

4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。两边之差〈 第三边〈 两边之和。

判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。

5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。

知识点二：三角形的分类

1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

3、等边△的三边相等，每个角是60度。（顶角、底角、腰、底的概念）

4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。

5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。

8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。

10、等边三角形是特殊的等腰三角形

知识点三：三角形的内角和

1、三角形的内角和是180°。四边形的内角和是360°。一个三角形中至少有两个锐角，每个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大的角是钝角，就是钝角三角形。

2、图形的拼组：（1）当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。

（2）任何两个（完全一样）的三角形可以拼成一个平行四边形。

并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。

（3）两个（完全一样）的直角三角形可以拼成

（平行四边形）或（长方形）或（等腰三角形）。

（4）用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角三角形。

（5）三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。

（6）至少需要两个三角形，才可以拼四边形。

    至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。

至少用（2个）直角三角形可以拼成一个长方形。

至少用（3个）等边三角形可以拼成一个等腰梯形。

至少用（2个）等边三角形可以拼成一个平行四边形。

（7）多个三角形可以拼出各种美丽的图案。

密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形

一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）

1．（2分）在下面三角形中，属于钝角三角形的是（　　）

A．三个角都是锐角的三角形 

B．有一个角是直角的三角形 

C．有一个角是钝角的三角形

【思路引导】根据三角形的分类：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，据此解答即可。

【完整解答】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以在上面三角形中，属于钝角三角形的是钝角三角形。

故选：C。

2．（2分）（2021春•西安期中）算一算∠B的度数，想一想，这是一个（　　）

A．锐角 B．钝角 C．直角

【思路引导】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。

【完整解答】∠B＝180°﹣28°﹣85°＝67°

是一个锐角。

故选：A。

3．（2分）（2021春•聊城期中）下列（　　）组三根小棒不能围成三角形。

A．2厘米、3厘米、4厘米 B．3厘米、4厘米、5厘米 

C．3厘米、7厘米、4厘米

【思路引导】根据三角形任意两边之和大于第三条边判断即可。

【完整解答】2+3＞4

3+4＞5

3+4＝7

所以3厘米、7厘米、4厘米的三根小棒不能围成三角形。

故选：C。

4．（2分）（2021•深圳模拟）钝角三角形中，两个锐角的和（　　）

A．大于90° B．小于90° C．无法判断

【思路引导】因为在钝角三角形中，有一个角的钝角，另外两个角是锐角，三角形的内角和是180度，所以钝角三角形中，两个锐角的和应小于90°，据此解答即可。

【完整解答】钝角三角形中，两个锐角的和小于90°。

故选：B。

5．（2分）（2019春•江都区期末）一个等腰三角形的底角是45°，这个三角形是（　　）三角形．

A．锐角 B．直角 C．钝角

【思路引导】根据三角形内角和是180°，可以得出这个等腰三角形的顶角是180°﹣45°×2＝90°．从而可以选择出正确答案．

【完整解答】180°﹣45°×2＝90°，

所以这个三角形是直角三角形．

故选：B．

二．填空题（共10小题，满分21分）

6．（2分）（2021春•南关区校级期中）在一个三角形中，∠1＝45°，∠2＝65°，∠3＝　70°　，它是一个　锐角　三角形。

【思路引导】三角形的内角和是180°，用180°减去∠1和∠2的度数和，就是∠3的度数，然后根据三角形按角分类进行判断即可。

【完整解答】180°﹣（45°+65°）

＝180°﹣110°

＝70°

它是一个锐角三角形。

故答案为：70°，锐角。

7．（2分）（2021春•庆云县期中）将一个大三角形分成两个小三角形，小三角形的内角和是　180　度。

【思路引导】三角形的内角和是180度，据此解答即可。

【完整解答】小三角形的内角和是180度。

故答案为：180。

8．（2分）（2021春•岳池县期中）一个三角形的两条边的长度分别是7分米，9分米，第三条边的长度应该　大于　2分米。（选填小于、等于或大于）

【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边；进行解答即可。

【完整解答】9﹣7＜第三边＜9+7

2＜第三边＜16

所以第三条边的长度应该大于2分米。

故答案为：大于。

9．（2分）（2021春•灌阳县期中）一个三角形如果有两条边相等，那么这个三角形是　等腰　三角形，如果有三条边相等，那么这个三角形是　等边　三角形。

【思路引导】一个三角形如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形，如果有三条边相等，那么这个三角形是等边三角形。据此解答即可。

【完整解答】一个三角形如果有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形，如果有三条边相等，那么这个三角形是等边三角形。

故答案为：等腰；等边。

10．（2分）（2021春•灌阳县期中）如图是两块三角形塑料板碎片，你的判断是：甲是　钝　角三角形，乙是　直　角三角形。

【思路引导】根据三角形的内角和等于180°，求出第三个角，再判断三角形的形状即可。

【完整解答】甲：180°﹣30°﹣40°＝110°

乙：180°﹣50°﹣40°＝90°

所以甲是钝角三角形，乙是直角三角形。

故答案为：钝；直。

11．（2分）（2021春•三台县期中）一个三角形的边长均为整厘米数，其中两条边的长度分别为4cm、8cm，则第三条边的长度最大是　11　cm，最短是　5　cm。

【思路引导】根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；由此解答即可。

【完整解答】8﹣4＜第三边＜8+4，

所以：4＜第三边＜12，

即第三边的取值在4～12厘米（不包括4厘米和12厘米），

因为三角形的边长均为整厘米数，所以第三边最长为：12﹣1＝11（厘米）；最短的是：4+1＝5（厘米）。

故答案为：11；5。

12．（2分）（2021春•简阳市 期中）一个三角形的两个内角之和小于90°，这个三角形一定是　钝角　三角形。

【思路引导】根据三角形内角和是180°，如果两个内角的和小于90°，那么剩下的一个内角一定大于90°，即是一个钝角；根据钝角三角形的概念即可判断。

【完整解答】三角形内角和是180°，如果两个内角的和小于90°，那么剩下的一个内角一定大于90°，即是一个钝角；所以这个三角形一定是钝角三角形。

故答案为：钝角。

13．（2分）（2020•新泰市）在一个三角形中，最小的角是59度，这个三角形按角分是　锐角　三角形。

【思路引导】根据三角形的内角和是180°，另外两角的和＝180°﹣59°＝121°，然后进行假设，进而得出结论．

【完整解答】另外两角的和＝180°﹣59°＝121°

假设一个角是90°，则另外一个角的度数小于59°，这与题干“一个三角形最小的内角是59°”相违背，

所以另外两个角都应小于90°，这个三角形应该是一个锐角三角形。

故答案为：锐角。

14．（2分）（2020春•邓州市期末）如图：

∠A＝　42°　．∠D＝　115°　．

【思路引导】（1）根据平角的意义，180°的角是平角，∠ACB＝180°﹣80°＝100°，三角形的内角和是180°，用三角形的内角和减去∠B再减去∠C就是∠A的度数。

（2）四边形的内角和是360°，用四边形的内角和减去已知的三个角的度数就是∠D的度数。

【完整解答】（1）∠A＝180°﹣38°﹣（180°﹣80°）

＝142°﹣100°

＝42°

（2）∠D＝360°﹣（90°+40°+115°）

＝360°﹣245°

＝115°

故答案为：42°、115°。

15．（2020春•二七区期末）我们使用的一套三角板，有一个共同特点就是其中有一个角是　90　°，所以他们都是　直角　三角形，其中一个三角板还是　等腰直角　三角形．

【思路引导】我们常用的一副三角板，其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是30°，60°，90°，据此解答。

【完整解答】我们使用的一套三角板，有一个共同特点就是其中有一个角是90°，所以他们都是直角三角形，其中一个三角板还是等腰直角三角形。

故答案为：90，直角，等腰直角。

三．判断题（共6小题，满分12分，每小题2分）

16．（2分）（2021春•庆云县期中）在直角三角形中，最长的一条边所对的角是90°。　√　（判断对错）

【思路引导】根据直角三角形的特征，有一个角是直角，斜边最长，斜边所对的角正是直角，是90度，据此进行判断即可。

【完整解答】在直角三角形中，最长的一条边所对的角是90°。

原题干说法正确。

故答案为：√。

17．（2分）（2021春•无棣县期中）所有的钝角三角形都有两个锐角，并且两个锐角的和小于90°。　√　（判断对错）

【思路引导】因为钝角大于90度而小于180度，而三角形的内角和是180度，所以其中一个钝角已经大于90度，所以剩下的两个角的和是小于90度的。据此解答即可。

【完整解答】因为三角形的内角和是180度，其中已经有一个角是大于90度的，

所以剩下两个锐角的和小于90度，故原题说法正确。

故答案为：√。

18．（2分）（2021春•禹城市期中）只看三角形的一个角，不一定能判断它是什么三角形。　√　（判断对错）

【思路引导】如果这个角大于或等于90°，就可以判定是钝角或者直角三角形；如果小于90°，则不能；进而得出结论。

【完整解答】由分析知：只看三角形的一个角，不一定能判断出它是什么三角形。

故答案为：√。

19．（2分）（2020春•瓯海区期末）用三根分别长13厘米、20厘米和6厘米的小棒，可以围成一个三角形。　×　（判断对错）

【思路引导】根据三角形的两边的和大于第三边进行判断即可。

【完整解答】因为13+6＝19＜20

所以用三根分别长13厘米、20厘米和6厘米的小棒，不能围成一个三角形。

故答案为：×。

20．（2分）（2020秋•亳州月考）用如图的三根小棒可以围成一个三角形。　×　（判断对错）

【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可。

【完整解答】2+4＝6，

所以用三根长度分别为2厘米、4厘米和6厘米的小棒不可以围成一个三角形，说法错误；

故答案为：×。

21．（2分）（2019•衡水模拟）如果一个三角形中最大的角小于90度，那么这个三角形一定是锐角三角形．　√　 （判断对错）

【思路引导】因为三角形中最大的一个角小于90度，是锐角，说明三个角都是锐角，根据锐角三角形的含义：三个角都是锐角的三角形，是锐角三角形；据此判断即可．

【完整解答】三角形中最大的一个角是锐角，说明三个角都是锐角，所以该三角形是锐角三角形，说法正确；

故答案为：√．

四．计算题（共1小题，满分6分，每小题6分）

22．（6分）（2021春•未央区月考）算一算下列各角的度数

【思路引导】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。

【完整解答】∠1＝180°﹣40°﹣30°＝110°

∠2＝180°﹣90°﹣55°＝35°

∠3＝（180°﹣40°）÷2

＝140°÷2

＝70°

五．操作题（共1小题，满分4分，每小题4分）

23．（4分）按要求画三角形。

【思路引导】根据锐角三角形、钝角三角形和直角三角形的定义，解答此题即可。

【完整解答】

六．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分）

24．（6分）（2021春•灌阳县期中）求下面各角的度数。

【思路引导】根据三角形的内角和等于180°，解答此题即可。

【完整解答】∠A＝180°﹣70°﹣33°＝77°

∠C＝180°﹣90°﹣40°＝50°

∠B＝180°﹣20°﹣45°＝115°

故答案为：77°；50°；115°。

25．（6分）（2018春•射阳县月考）如图的三角形都被一张纸遮住了一部分．你能确定它们各是什么三角形吗？

【思路引导】第一个露出的角是钝角，所以是钝角三角形，

第二个露出的角是直角，所以是直角三角形，

第三个露出的角是一个锐角，根据一个锐角不能确定是什么三角形，

据此即可解答．

【完整解答】第一个露出的角是钝角，所以是钝角三角形，

第二个露出的角是直角，所以是直角三角形，

第三个露出的角是一个锐角，根据一个锐角不能确定是什么三角形．

七．应用题（共7小题，满分35分，每小题5分）

26．（5分）（2019秋•成都期末）有5根小棒，长度分别是3厘米、3厘米、3厘米、4厘米、6厘米，可以摆成几种不同的三角形？请你列举出来．

【思路引导】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，由此解答．

【完整解答】根据分析知，共有以下情况，

①3厘米，3厘米，3厘米；

②3厘米，3厘米，4厘米；

③3厘米，4厘米，6厘米；

答：一共可以拼成3个不同的三角形．

27．（5分）（2019春•南丰县期中）如果一个三角形的两条边的长分别是6厘米和9厘米，那么这个三角形的第三条边的长可能是多少厘米？最少写出两种答案．

【思路引导】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．

【完整解答】9﹣6＜第三边＜9+6，

3＜第三边＜15，

答：第三边的长度可能是4厘米或5cm．（答案不唯一）

28．（5分）（2019春•英山县期末）妈妈有一条等腰三角形的围巾，其中一个角是120°，其余两个角各是多少度？

【思路引导】因为三角形的内角和是180度，又因为等腰三角形的两个底角相等，用“180°﹣120°＝60°”求出两个底角的度数，再用“60°÷2＝30°”求出一个底角的度数．

【完整解答】（180°﹣120°）÷2

＝60°÷2

＝30°

答：其余两个角都是30度．

29．（5分）（2020春•高邑县期中）红红家有一块三角形的小菜园，菜园的最大角是120°，且最大角的度数是最小角的4倍，这块三角形菜地其他角的度数是多少？这块地的形状是一个什么三角形？

【思路引导】这块三角形菜园的最大角是120°，且最大角的度数是最小角的4倍，用120°除以4就是最小角的度数；再根据三角形内角和定理（三角形三个内角之和是180°）即可求出另一个角的度数．这个三角形中最大角是120°，属于钝角，根据钝角三角形的意义，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，此三角形为钝角三角形．

【完整解答】120°÷4＝30°

180°﹣120°﹣30°＝30°

这个三角形的最大角是钝角，它是一个钝角三角形

答：这块三角形菜地其他角的度数都是30°，这块地的形状是一个钝角三角形．

30．（5分）（2018•朝阳区）小军想制作一个三角形框架，他找到了这样的两根木条：

①你认为小军应该锯断哪根木条？写出你的理由．

②小军把这根本条据成长度各是多少的两段（取整厘米数），才能和另外一根木条围成一个三角形呢？

【思路引导】因为三角形的两边之和大于第三条边，两边之差小于第三条边，军应该锯断B木条，把B木条锯成两段，分别为4厘米和9厘米，5厘米和8厘米，6厘米和7厘米，根据三角形的两边之和大于第三条边，都可以和6厘米围成三角形，由此解答即可。

【完整解答】（1）锯断B木条，B木条可以和A木条围成三角形，因为三角形的两边之和大于第三条边。

（2）把B木条锯成两段，分别为4厘米和9厘米，5厘米和8厘米，6厘米和7厘米，根据三角形的两边之和大于第三条边，都可以和6厘米围成三角形

31．（5分）金字塔的基底是一个正方形，四个侧面都是同样的等腰三角形，测得金字塔侧面的一个底角是64°，算一算，金字塔侧面的一个顶角是多少度？

【思路引导】根据三角形内角和定理：三角形内角和是180°，结合等腰三角形的特点：等腰三角形的两个底角相等，金字塔侧面的一个顶角的度数为：180°﹣64°×2＝52°．

【完整解答】180°﹣64°×2

＝180°﹣128°

＝52°

答：金字塔侧面的一个顶角是52°．

32．（5分）（2019春•昌乐县期末）本学期老师带领我们探究出了三角形的内角和是180°．我们在探究三角形的内角和时，老师引领我们经历了怎样的过程？

【思路引导】在探究三角形的内角和时，我们通过折的方法把三角形的3个角折到一起拼成一个平角，根据平角的意义推导出三角形的内角和是180°。据此解答。

【完整解答】如图：

通过折的方法把三角形的3个角折到一起拼成一个平角，平角是180°，所以三角形的内角和是180°。