人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质学案设计

这是一份人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质学案设计，共9页。学案主要包含了基本概念，针对训练等内容，欢迎下载使用。
一、基本概念
1、角平分线的两种定义
（1）把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．
（2）角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的点的集合．
2、角平分线的性质定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
3、角的平分线的判定定理
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
二、针对训练
1．如图，在△ABC中，，为的角平分线．若，则点到的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．如图，在△ABC中，，BE平分，于D，，那么CE等于( )
A． cmB．2 cmC．3 cmD．4 cm
3．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
A．1B．2C．D．4
4．如图，在△ABC中，，是的平分线，若，，则的面积是________．
5．如图，在△ABC中，，平分交于点，，垂足为，若，，则的长为______．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为_____．
7．BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠FED＝∠BDE，则EF也是∠AED的平分线．
完成下列推理过程：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC(_____________________________________)
∵ED∥BC(已知)
∴∠BDE=∠DBC(_________________________________)
∴∠ABD=∠BDE，
又∵∠FED=∠BDE（_____）
∴EF∥BD(_________________________________)，
∴∠AEF=∠ABD(_________________________________)
∴∠AEF=∠FED(_________________________________)，
∴EF是∠AED的平分线
8．如图，已知AB=AC，BD=CD，求证：AD平分∠BAC．
9．如图，是的平分线，，点在上，连接、，分别过点作、的垂线、，垂足分别为、．
（1）求证：；
（2）求证：．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若△BDE的周长为20，求AB的长．
12.3角平分线的性质参考答案
1．B
【分析】
根据题意作出点D到AC的距离ED，再根据角平分线的性质求解即可．
【详解】
解：如图所示，过点D作于点E，则ED的长度为点到的距离．
∵为的角平分线，，，，
∴ED=BD=4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离是解题关键．
2．C
【分析】
根据角平分线到两边的距离相等得出DE=CE，即可得出CE的值．
【详解】
解：∵，，BE平分∠ABC，
∴，
∵
∴；
故选：C．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
3．B
【分析】
根据角平分线的性质直接可得．
【详解】
如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．
故选B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键．
4．6
【分析】
设点到的距离为，根据角平分线的性质即可求解
【详解】
设点到的距离为，
是的平分线，，
，
故答案为：6
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟悉角平分线的性质是解题的关键．
5．
【分析】
先根据角平分线的性质可得，再根据线段的和差即可得．
【详解】
解：平分，，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
6．3
【分析】
当DE⊥AB时，线段DE的长度最小，根据角平分线的性质得出CD＝DE，代入求出即可．
【详解】
解：当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3，
即线段DE 的长度的最小值是3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
7．角平分线定义；两条直线平行，内错角相等；已知；内错角相等，两条直线平行；两条直线平行，同位角相等；等量代换．
【分析】
首先根据角平分线分得的角相等，结合图形以及角平分线的性质即可得到相等的角，由此填空即可；接下来根据已知的平行关系，找出对应的角的关系，结合平行线的性质以及角平分线的定义即可解答．
【详解】
，∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC(角平分线定义)
∵ED∥BC(已知)
∴∠BDE=∠DBC(两条直线平行，内错角相等)
∴∠ABD=∠BDE，
又∵∠FED=∠BDE（已知）
∴EF∥BD(内错角相等，两条直线平行)，
∴∠AEF=∠ABD(两条直线平行，同位角相等)
∴∠AEF=∠FED(等量代换)，
∴EF是∠AED的平分线
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质和判定等知识点，熟记定义和性质结合图形即可求解．
8．见解析
【分析】
利用SSS判定△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的对应角相等得到：∠BAD=∠CAD，则AD是∠BAC的平分线．
【详解】
在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
【点睛】
考查三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
9．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据SAS证明≌即可求解；
（2）证明是的平分线，根据角平分线的性质即可求解．
【详解】
证明：（1）∵是的平分线
∴
在和中
∴≌
∴
（2）由（1）可知：
∴
∴是的平分线
∵，
∴．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质与证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与角平分线的性质．
10．（1）见解析；（2）AB＝20
【分析】
（1）欲证明AC＝AE，只要证明△ADC≌△ADE（AAS）即可．
（2）证明△BDE的周长＝AB即可解决问题．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠CAB，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝90，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90，
∵AD＝AD，
∴△ADC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE．
（2）解：∵△ADC≌△ADE，
∴AC＝AE，DE＝DC，
∵△BDE的周长＝DE+BD+BE＝20，
∴DC+DB+BE＝20，
∴BC+BE＝20，
∵BC＝AC＝AE，
∴AE+EB＝20，
∴AB＝20．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，重合用转化的思想思考问题．