高考数学二轮总复习强化训练3（含答案）

这是一份高考数学二轮总复习强化训练3（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,x－y＋1≥0，,x≤3，))则z＝2x＋y的最小值与最大值的和为( )
A．7 B．8
C．13 D．14
解析：选D.作出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－3≥0，,x－y＋1≥0，,x≤3))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移直线2x＋y＝0，当直线经过点A(1，2)时，z＝2x＋y取得最小值4，当经过点B(3，4)时，z＝2x＋y取得最大值10，故z的最小值与最大值的和为4＋10＝14.故选D.
2．(2018·长春质量检测(一))已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为( )
A．8 B．9
C．12 D．16
解析：选B.由4x＋y＝xy得eq \f(4,y)＋eq \f(1,x)＝1，则x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,y)＋\f(1,x)))＝eq \f(4x,y)＋eq \f(y,x)＋1＋4≥2eq \r(4)＋5＝9，当且仅当eq \f(4x,y)＝eq \f(y,x)，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
3．(一题多解)(2018·福州模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0，x≤0，,2x－2－x，x＞0，))则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞)
C．(－∞，－eq \r(2))∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(eq \r(2)，＋∞)
解析：选C.法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2－2)＞f(x)得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,x2－2＞x))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2－2＞0，))解得x＞2或x＜－eq \r(2)，所以x的取值范围是(－∞，－eq \r(2))∪(2，＋∞)，故选C.
法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.
4．(一题多解)若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(0，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
解析：选B.法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，
当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0⇒2ax≥－(x2＋1)⇒2a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))，又－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2⇒a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，
当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；
当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.
综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)，故选B.
5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
解析：选C.由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.
6．若max{s1，s2，…，sn}表示实数s1，s2，…，sn中的最大者．设A＝(a1，a2，a3)，B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b1,b2,b3))，记A⊗B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}．设A＝(x－1，x＋1，1)，B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,x－2,|x－1|))，若A⊗B＝x－1，则x的取值范围为( )
A．[1－eq \r(3)，1] B．[1，1＋eq \r(2)]
C．[1－eq \r(2)，1] D．[1，1＋eq \r(3)]
解析：选B.由A＝(x－1，x＋1，1)，B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1,x－2,|x－1|))，得A⊗B＝max{x－1，(x＋1)(x－2)，|x－1|}＝x－1，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1≥(x＋1)(x－2)，,x－1≥|x－1|.))化简，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－2x－1≤0①，,x－1≥|x－1|②.))由①，得1－eq \r(2)≤x≤1＋eq \r(2).由②，得x≥1.所以不等式组的解集为1≤x≤1＋eq \r(2)，则x的取值范围为[1，1＋eq \r(2)]．故选B.
7．(2018·长沙模拟)某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是( )
A．逆时针方向匀速前跑
B．顺时针方向匀速前跑
C．顺时针方向匀速后退
D．静止不动
解析：选C.令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置eq \f(C,26)(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的，故选C.
8．已知变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤6，,x－3y≤－2，,x≥1，))若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)的最小值为 ( )
A．2＋eq \r(3) B．5＋2eq \r(6)
C．8＋eq \r(15) D．2eq \r(3)
解析：选A.作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a＞0，b＞0，所以－eq \f(a,b)＜0.所以目标函数z＝ax＋by在点A(1，1)处取得最小值2，即2＝a×1＋b×1，所以a＋b＝2.所以eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)))(a＋b)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(b,a)＋\f(3a,b)))≥eq \f(1,2)(4＋2eq \r(3))＝2＋eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(b,a)＝\f(3a,b)，即b＝\r(3)a时取等号)).故选A.
9．(一题多解)(2018·合肥质量检测)设x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y－2≤0，,ax－y－a≤0，))若z＝2x＋y的最大值为eq \f(7,2)，则a的值为( )
A．－eq \f(7,2) B．0
C．1 D．－eq \f(7,2)或1
解析：选C.法一：由z＝2x＋y存在最大值，可知a＞－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y－2≤0，,ax－y－a≤0))所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,ax－y－a＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a＋2,a＋1)，,y＝\f(a,a＋1)，))把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a＋2,a＋1)，,y＝\f(a,a＋1)))代入2x＋y＝eq \f(7,2)得a＝1，故选C.
法二：由z＝2x＋y存在最大值，可知a＞－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y－2≤0，,ax－y－a≤0))所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值eq \f(7,2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,2x＋y＝\f(7,2)，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(1,2)，))把eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(1,2)))代入ax－y－a＝0得a＝1，故选C.
10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为 ( )
A.15万元 B．16万元
C．17万元 D．18万元
解析：选D.设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝12，,x＋2y＝8，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))所以M(2，3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.
11．(2018·兰州模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹应表示为( )
解析：选C.由算筹的定义，得
8 7 7 1
(千位)横式 (百位)纵式 (十位)横式 (个位)纵式，所以8 771用算筹应表示为，故选C.
12．(2018·太原模拟)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋eq \f(1,1＋\f(1,1＋…))中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋eq \f(1,x)＝x求得x＝eq \f(\r(5)＋1,2).类比上述过程，则eq \r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝( )
A．3 B.eq \f(\r(13)＋1,2)
C．6 D．2eq \r(2)
解析：选A.令 eq \r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝x(x＞0)，两边平方，得3＋2eq \r(3＋2\r(…))＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去)，故eq \r(3＋2\r(3＋2\r(…)))＝3，选A.
二、填空题
13．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，则a2－a－1≤－eq \f(1,4)，解得－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(3,2).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))
14．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－2≥0，,x－2y＋4≥0，,2x－y－4≤0.))若z的最大值为12，则实数k＝________.
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，
由图可知当0≤－k