高考数学一轮复习 第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

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1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)如图7­3­1所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
图7­3­1
A．30° B．45°
C．60°D．90°
C [连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，
故∠D1B1C为所求的角，
又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]
3．在下列命题中，不是公理的是( )
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
A [A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．]
4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.]
5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．
b与α相交或b⊂α或b∥α
如图7­3­2，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
【导学号：31222249】
图7­3­2
[证明] (1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥BA1.2分
又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.5分
(2)∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，
得P∈平面ABCD.8分
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.12分
[规律方法] 1.证明线共面或点共面的常用方法：
(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．
(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
2．证明点共线问题的常用方法：
(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上．
(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
[变式训练1] 如图7­3­3所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊eq \f(1,2)AD，BE綊eq \f(1,2)FA，G，H分别为FA，FD的中点．
图7­3­3
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
[解] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊eq \f(1,2)AD.2分
又BC綊eq \f(1,2)AD，
∴GH綊BC，∴四边形BCHG是平行四边形.5分
(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：
由BE綊eq \f(1,2)AF，G为FA的中点知BE綊GF，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.8分
由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.12分
(1)(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) 【导学号：31222250】
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)(2017·郑州模拟)在图7­3­4中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．
① ② ③ ④
图7­3­4
(1)D (2)②④ [(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]
[规律方法] 1.异面直线的判定方法：
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
2．点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
[变式训练2] (2017·烟台质检)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( )
A．①④ B．②③
C．③④D．①②
A [对于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、相交或异面，①为真命题．②中，b⊂M，a∥b，则a∥M或a⊂M，②为假命题．命题③中，a与b相交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题．]
(1)如图7­3­5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
图7­3­5
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
(2)(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),3)D.eq \f(1,3)
(1)D (2)A [(1)连接BC1，易证BC1∥AD1，
则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．
连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，
则A1C1＝eq \r(2)，A1B＝BC1＝eq \r(5)，
在△A1BC1中，由余弦定理得
cs∠A1BC1＝eq \f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(4,5).
(2)设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.
∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，
且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可证CD1∥n.
因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即∠CD1B1为m，n所成的角．
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为eq \f(\r(3),2).]
[规律方法] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
2．求异面直线所成角的三个步骤：
(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角．
(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角．
(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
[变式训练3] 如图7­3­6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
图7­3­6
eq \r(2) [取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，
所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，
所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝eq \r(2)AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq \r(2)，
所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq \r(2).]
[思想与方法]
1．主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想．
[易错与防范]
1．异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．
3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
课时分层训练(四十)
空间点、直线、平面之间的位置关系
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( )
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
A [若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]
2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是( )
A．① B．①④
C．②③D．③④
A [显然命题①正确．
由三棱柱的三条平行棱不共面知，②错．
命题③中，两个平面重合或相交，③错．
三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④不正确．]
3．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行
B．相交或异面
C．平行或异面
D．相交、平行或异面
D [依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]
4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
【导学号：31222251】
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
D [如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.
若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．
因此l1与l4的位置关系不能确定．]
5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( )
A.eq \f(4,5)B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,3)D.eq \f(5,7)
B [连接DF，则AE∥DF，
∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角．
设正方体棱长为a，
则D1D＝a，DF＝eq \f(\r(5),2)a，D1F＝eq \f(\r(5),2)a，
∴cs∠D1FD＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)a))2－a2,2·\f(\r(5),2)a·\f(\r(5),2)a)＝eq \f(3,5).]
二、填空题
6.如图7­3­7所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
图7­3­7
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
③④ [由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．
因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]
7.(2017·佛山模拟)如图7­3­8所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝eq \r(2)∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
图7­3­8
60° [取A1C1 的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，
设AB＝1，则A1A＝eq \r(2)，AB1＝eq \r(3)，B1E＝eq \f(\r(3),2)，AE＝eq \f(3,2)，故∠AB1E＝60°.]
8．如图7­3­9，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
【导学号：31222252】
图7­3­9
4 [取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]
三、解答题
9.如图7­3­10所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：
图7­3­10
(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．
[解] (1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.2分
又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线.5分
(2)直线D1B和CC1是异面直线.6分
理由：因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，10分
这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，
即D1B和CC1是异面直线.12分
10．如图7­3­11所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝eq \f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq \r(3)，PA＝2.求：
图7­3­11
(1)三棱锥P­ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
[解] (1)S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3)，
三棱锥P­ABC的体积为
V＝eq \f(1,3)S△ABC·PA＝eq \f(1,3)×2eq \r(3)×2＝eq \f(4,3)eq \r(3).5分
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).8分
在△ADE中，DE＝2，AE＝eq \r(2)，AD＝2，cs∠ADE＝eq \f(22＋22－2,2×2×2)＝eq \f(3,4).
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq \f(3,4).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·南昌二模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α
C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α
D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α
B [若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；
若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；
若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．]
2.如图7­3­12，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________. 【导学号：31222253】
图7­3­12
eq \f(\r(3),6) [取DE的中点H，连接HF，GH.
由题设，HF綊eq \f(1,2)AD，
∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．
在△GHF中，可求HF＝eq \r(2)，
GF＝GH＝eq \r(6)，
∴cs∠GFH＝eq \f(\r(2)2＋\r(6)2－\r(6)2,2×\r(2)×\r(6))＝eq \f(\r(3),6).]
3．(2016·广州模拟)已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．
[解] 如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，
则PM∥AB，且PM＝eq \f(1,2)AB，
PN∥CD，且PN＝eq \f(1,2)CD，
所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分
则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．
又因为AB＝CD，所以PM＝PN，
则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，
即AB和MN所成的角为60°.9分
②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，
所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.
综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.12分
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形语言
符号语言
a，b是异面直线
a⊂α
平面的基本性质
空间直线的位置关系
异面直线所成的角