高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步本章综合与测试课时作业

单元素养评价(三)(第六章)

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于 (　　)

A.-    B.

C.-或  D.0

【解析】选C.由a∥b知1×2=m2,解得m=或m=-.

2.若三点A(2,3),B(3,a),C(4,b)共线,则有 (　　)

A.a=3,b=-5   B.a-b+1=0

C.2a-b=3    D.a-2b=0

【解析】选C.=(1,a-3),=(2,b-3),∥⇒b-3=2a-6,2a-b=3.

3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于 (　　)

A.(-2,7)   B.(-6,21)

C.(2,-7)   D.(6,-21)

【解析】选B.=2=2(-)=2(-3,2)

=(-6,4),

=3=3(+)=3(-2,7)=(-6,21).

4.(2020·西昌高一检测)已知a,b是不共线的向量,=λa+μb,=2a-b,=a-2b,若A,B,C三点共线,则λ、μ满足(　　)

A.λ=μ-3   B.λ=μ+3

C.λ=μ+2   D.λ=μ-2

【解析】选B.由A,B,C三点共线,得

=t+(1-t)

=(1+t)a+(t-2)b,

因为a,b是不共线的向量,

所以λ=t+1,μ=t-2,所以λ=μ+3.

5.若P是直线P1P2上的一点,且=λ,则当-1<λ<0时,点P的位置(　　)

A.在线段P1P2上

B.在线段P1P2的延长线上

C.在线段P2P1的延长线上

D.不能确定

【解析】选C.根据题意易知,点P不可能与P1,P2重合,当P在线段P1P2上时,λ>0;

当P在线段P1P2的延长线上时,λ<-1;

当P在线段P2P1的延长线上时,-1<λ<0.

6.如图在梯形ABCD中,AD∥BC,=a,=b,=c,=d,且E,F分别为AB,CD的中点,则 (　　)

A.=(a+b+c+d)

B.=(a-b+c-d)

C.=(c+d-a-b)

D.=(a+b-c-d)

【解析】选C.连接OE,OF.因为=-=(+)-(+)

=(c+d)-(a+b),所以=(c+d-a-b).

7.(2020·唐山高一检测)过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若++=0恒成立,则点M是△ABC的(　　)

A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心

【解析】

选B.因为过△ABC内一点M任作一条直线l,可将此直线特殊为过点A,则=0,有+=0.如图:

则有直线AM经过BC的中点,

同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.

8.(2020·沈阳高一检测)过△ABC的重心任作一直线分别交边AB,AC于点D,E.若=x,=y,xy≠0,则4x+y的最小值为              (　　)

A.4  B.3  C.2  D.1

【解析】选B.设重心为O,

因为重心分中线的比为2∶1,

则有+=3,+=+,

则=+,

又因为O,D,E三点共线,所以+=1,

又x>0,y>0,

则4x+y=(4x+y)=++≥+2=3,取等号时2x=y=1,即4x+y的最小值为3.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.下列命题不正确的是 (　　)

A.单位向量都相等

B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量

C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b

D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|

【解析】选AB.单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当b=0时,a与c可以为任意向量;

|a+b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.

10.下列命题中正确的是 (　　)

A.-=    B.+=0

C.0·=0    D.++=

【解析】选AD.起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量,-=;

,是一对相反向量,它们的和应该为零向量,+=0;0·=0;

++=.

11.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是(　　)

A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个

C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)

D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0

【解析】选BC.由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,或当λ1e1+μ1e2为非零向量,而λ2e1+μ2e2为零向量(λ2=μ2=0),此时λ不存在.

12.(2020·济南高一检测)如图2,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点O且三组对边分别平行,点A,B是“六芒星”(如图1)的两个顶点,动点P在“六芒星”上(内部以及边界),若=x+y,则x+y的取值可能是(　　)

A.-6  B.1  C.5  D.9

【解析】选BC.如图所示:

设=a,=b,求x+y的最大值,只需考虑图中以O为起点,6个顶点为终点的向量即可,讨论如下:

(1)因为=a,所以(x,y)=(1,0);

(2)因为=b,所以(x,y)=(0,1);

(3)因为=+=a+2b,所以(x,y)=(1,2);

(4)因为=+=+=2-=2a+3b,所以(x,y)=(2,3);

(5)因为=+=a+b,所以(x,y)=(1,1);

(6)因为=+=a+3b,所以(x,y)=(1,3).

所以x+y的最大值为2+3=5.根据其对称性,可知x+y的最小值为-5.故x+y的取值范围是[-5,5],故选项B,C均符合题意.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)

13.若=(2,8),=(-7,2),则=________. 

【解析】=-=(-9,-6),所以=(-3,-2).

答案:(-3,-2)

14.已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标是________. 

【解析】因为F=(8,0),所以终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1).

答案:(9,1)

15.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________. 

【解析】a+b=(m+1,3),由|a+b|2=|a|2+|b|2,得(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.

答案:-2

16.(2020·郑州高一检测)已知点P是△ABC所在平面内的一点,设F为AB的中点,若=+,且=λ,则λ=________,=________. 

【解析】

如图,F为AB的中点,设D为AF的中点,E为AC的中点,因为=+,

所以可得=+,

整理得++2=0.又+=2,

所以=-,

所以S△APC=S△APF,

又S△APF=S△APB,所以=.

答案:-1　

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(10分)在平行四边形ABCD中,=a,=b.

(1)如图①,如果E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.

(2)如图②,如果O是AC与BD的交点,G是DO的中点,试用a,b表示.

【解析】(1)=+=+=-=-a+b.=+=-=a-b.

(2)=-=b-a.

因为O是BD的中点,G是DO的中点,

所以==(b-a),

所以=+=a+(b-a)=a+b.

18.(12分)(2020·成都高一检测)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn.

(1)判断a,b是否共线.

(2)若a∥c,求x的值.

【解析】(1)若a与b共线,由题知a为非零向量,

则设b=λa,即6m-4n=λ,

所以得到λ=2且λ=-2,

所以λ不存在,即a与b不共线.

(2)因为a∥c,则设c=r a,即m+xn=3r m+2r n,即,解得x=.

19.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).

(1)当m=8时,将用和表示.

(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.

【解析】(1)m=8时,=(8,3),设=λ1+λ2,所以(8,3)=λ1(2,-1)+

λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),

所以解得

所以=-3+.

(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有与不共线,又=-=(3,0)-(2,-1)=(1,1),

=-=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),

则有1×4-(m-2)×1≠0,所以m≠6.

20.(12分)用向量法证明:三角形的三条中线交于一点.

【证明】

如图,D,E,F分别是△ABC三边上的中点,

设=a,=b,AD∩BE=G.

设=λ,=μ.

则=+=(b-a)+μ=(b-a)+μ=b-a+μ=

(μ-2)a+(1-μ)b,又=λ=λ(+)=λ=-λa+λb,

所以解得

则=+=a+

=a+=a+b,

=a+b,所以=,所以G在中线CF上,所以三角形三条中线交于一点.

21.(12分)在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航行速度向西北方向飞行,求没有风时飞机的航行速度和方向.

【解析】

如图所示,设v=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=无风时飞机的航行速度,则vb=va-v.所以vb,va,v构成了一个三角形,

||=|va|,||=|v|,||=|vb|.

作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°,设||=150,||=75(-),则||=||=||=75,

所以||=75.从而||=150,∠CAD=30°,所以|vb|=150,所以无风时飞机的航行速度为150 km/h,方向为北偏西60°.

22.(12分)设直线l:mx+y+2=0与线段AB有公共点P,其中A(-2,3),B(3,2),试用向量的方法求实数m的取值范围.

【解析】(1)P与A重合时,m×(-2)+3+2=0,所以m=.P与B重合时,3m+2+2=0,所以m=-.

(2)P与A,B不重合时,设=λ,则λ>0.

设P(x,y),则=(x+2,y-3),=(3-x,2-y).

所以所以

把x,y代入mx+y+2=0可解得λ=,

又因为λ>0,所以>0.所以m<-或m>.

由(1)(2)知,所求实数m的取值范围是

∪.