2022高考数学一轮复习课时规范练4简单的逻辑联结词全称量词与存在量词（含解析）

课时规范练4　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础巩固组

1.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为(　　)

A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n

C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n

2.(2020辽宁沈阳二中五模,文3)已知命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,-1) B.(-1,3)

C.(-3,+∞) D.(-3,1)

3.(2020广东广州一模,文5)已知命题p:∀x∈R,x2-x+1<0;命题q:∃x∈R,x2>x3,则下列命题中为真命题的是(　　)

A.p∧q B.p∧q C.p∧q D.p∧q

4.命题p:∃x0∈R,x0-2>0;命题q:∀x∈R,<x,则下列命题中为真命题的是(　　)

A.p∨q B.p∧q

C.(p)∨q D.(p)∧(q)

5.(2020河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集,B是偶函数集.若命题p:∀f(x)∈A,|f(x)|∈B,则p为(　　)

A.∀f(x)∈A,|f(x)|∉B

B.∀f(x)∉A,|f(x)|∉B

C.∃f(x)∈A,|f(x)|∉B

D.∃f(x)∉A,|f(x)|∉B

6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;命题q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q B.(p)∧q 

C.p∧(q) D.(p)∧(q)

7.已知命题p:∃x0∈R,<x0-1;命题q:在△ABC中,“BC2+AC2<AB2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件.则下列命题中的真命题是(　　)

A.q B.p∧q

C.p∨(q) D.(p)∧q

8.(2020湖南永州二模,理5)下列说法正确的是(　　)

A.若“p∨q”为真命题,则“p∧q”为真命题

B.命题“∀x>0,ex-x-1>0”的否定是“∃x0≤0,-x0-1≤0”

C.命题“若x≥1,则≤1”的逆否命题为真命题

D.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件

9.已知命题“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是　　　　　. 

10.下列结论:

①若命题p:∃x0∈R,tan x0=2,命题q:∀x∈R,x2-x+>0,则命题“p∧(q)”是假命题;

②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;

③命题“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.

其中正确结论的序号为　　　　　. 

综合提升组

11.(2020广东江门4月模拟,理5)已知命题p:∀x∈R,x2+x-1>0;命题q:∃x∈R,sin x+cos x=.则下列判断正确的是(　　)

A.p是假命题 B.q是假命题

C.p∨q是假命题 D.(p)∧q是真命题

12.(2020湖南百校联考,10改编)设命题p:∃a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是增函数,则下列结论正确的是(　　)

A.p为假命题

B.p为∀a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是减函数

C.p的逆命题为假命题

D.p为∀a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上不是增函数

13.给出如下四个命题:

①若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;③“∀x∈R,则x2+1≥1”的否定是“∃x∈R,则x2+1<1”;④在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件.

其中正确的命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

14.(2020山东潍坊模拟)下列三个说法:

①若命题p:∃x∈R,x2+x+1<0,则p:∀x∈R,x2+x+1≥0;

②“φ=”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;

③命题“若0<a<1,则loga(a+1)<loga1+”是真命题.

其中正确的是　　　　(填序号). 

15.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是　　　　. 

创新应用组

16.下列说法错误的是(　　)

A.“m>1”是“函数f(x)=m+log2x(x≥1)不存在零点”的充分不必要条件

B.命题“在△ABC中,若sin A=sin B,则△ABC为等腰三角形”是真命题

C.设命题p:∀x∈[1,3),函数f(x)=log2(tx2+2x-2)恒有意义,若p为真命题,则t的取值范围为(-∞,0]

D.命题“∃x0∈R,≤0”是真命题

17.(2020全国百强名校联考,理17)设命题p:函数f(x)=的定义域为R;命题q:不等式a2-5a-6≥0恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.

参考答案

课时规范练4　简单的逻辑联结词、

全称量词与存在量词

1.C　∵p:∃n∈N,n2>2n,∴¬p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.

2.B　由题意,“∀x∈R,使2x2+(a-1)x+>0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4<0,即|a-1|<2,解得-1<a<3,故选B.

3.B　对于命题p,可知Δ=(-1)2-4<0,所以∀x∈R,x2-x+1>0,故命题p为假命题,

对于命题q,x=-1时,(-1)2>(-1)3成立,故命题q为真命题,

所以p∧q为假命题,¬p∧q为真命题,p∧¬q为假命题,¬p∧¬q为假命题,故选B.

4.A　命题p:∃x0∈R,x0-2>0为真命题,命题¬p:∀x∈R,x-2≤0为假命题;

命题q:∀x∈R,<x为假命题,命题¬q:∃x∈R,≥x0为真命题,故选A.

5.C　全称命题的否定为特称命题,即改写量词,否定结论.所以¬p:∃f(x)∈A,|f(x)|∉B.

6.D　命题p:对任意x∈R,总有2x>x2,它是假命题,例如取x=2时,2x与x2相等.

q:由a>1,b>1得到ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=.

∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q是假命题.

∴真命题是(¬p)∧(¬q).故选D.

7.D　对于命题p,注意到y=2x图象在y=x-1图象的上方,故命题为假命题.对于命题q,BC2+AC2<AB2只是说明C为钝角,故为充分不必要条件,所以q为真命题,故(¬p)∧q为真命题.故选D.

8.C　“p∨q”为真,则命题p,q有可能一真一假,则“p∧q”为假,故选项A错误;

命题“∀x>0,ex-x-1>0”的否定应该是“∃x0>0,-x0-1≤0”,故选项B错误;

因为命题“若x≥1,则≤1”为真命题,所以其逆否命题为真命题,故选项C正确;

若x=-1,则x2-5x-6=0;若x2-5x-6=0,则x=-1或x=6.所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,选项D错误.故选C.

9.　由“∀x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+a,则其图象恒在x轴的上方,所以Δ=25-4×a<0,解得a>.故实数a的取值范围为.

10.①③　在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(¬q)”为假命题,故①正确;在②中,l1⊥l2等价于a+3b=0,而=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出=-3,故②不正确;在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,所以③正确.

11.D　由x2+x-1=≥-,所以命题p:∀x∈R,x2+x-1>0为假命题;

由sinx+cosx=sinx+得,当x=时,sinx+cosx=.

所以命题q:∃x∈R,sinx+cosx=是真命题.

则p∨q是真命题;(¬p)∧q是真命题.故选D.

12.D　当a=1时,f'(x)=3x2-1>0对x∈(1,+∞)恒成立,故p为真命题,故A错误;当f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上是增函数,则f'(x)=3x2-a≥0,所以a≤3x2,3x2>3,即∃a∈(0,+∞),故命题p的逆命题也为真命题,故C错误;因为“是增函数”的否定为“不是增函数”,所以¬p为∀a∈(0,+∞),f(x)=x3-ax+1在(1,+∞)上不是增函数,故D正确.

13.C　根据复合命题真假的判断,若“p且q”为假命题,则p或q至少有一个为假命题,所以①错误;根据否命题的定义,命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”为真命题,所以②正确;根据含有量词命题的否定,“∀x∈R,x2+1≥1”的否定是“∃x∈R,x2+1<1”,所以③正确;根据正弦定理,“A>B”能推出“sinA>sinB”且“sinA>sinB”能推出“A>B”,所以④正确.综上,正确的有②③④,所以选C.

14.①　①显然正确;“φ=”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充分不必要条件,故②错误;因为0<a<1,所以1+>1+a,所以loga(a+1)>loga1+,故③错误.

15.,+∞　当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时,g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min,得0≥-m,所以m≥.

16.D　因为当x≥1时,log2x≥0,所以当m>1时,f(x)=m+log2x>1不存在零点,当函数f(x)=m+log2x在区间[1,+∞)上不存在零点时,解得m>0,所以m>1是此函数不存在零点的充分不必要条件,故A正确;

在三角形中,内角在(0,π)内,故sinA=sinB等价于A=B,故B正确;

若¬p为真命题,则p为假命题,即不等式tx2+2x-2≤0在[1,3)上有解,即t≤在[1,3)上有解,设g(x)=,故t≤g(x)max,当1≤x<3时,≤1,所以g(x)==22-∈-,0,所以t≤g(x)max=0.故C正确;因为∀x∈R,ex>0,所以命题“∃x0∈R,≤0”是假命题.故D错误.故选D.

17.解因为命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,

所以p,q一真一假.

若p假q真,则¬p:函数f(x)=的定义域不为R,

所以Δ=16-4a2≥0,解得-2≤a≤2;

由a2-5a-6≥0,解得a≤-1或a≥6,

所以a的取值范围是[-2,-1].

若p真q假,则p:函数f(x)=的定义域为R,

所以Δ=16-4a2<0,解得a<-2或a>2.

¬q:不等式a2-5a-6<0,

解得-1<a<6.所以a的取值范围是(2,6).

综上可得,a∈[-2,-1]∪(2,6).