2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价20利用导数研究函数的零点问题含解析新人教A版

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A组 全考点巩固练
1．函数f (x)＝eq \f(1,3)x3＋x2＋x＋1的零点个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
B 解析：因为f ′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，
所以f (x)在R上单调递增．
因为f (0)＝1>0，f (－3)＝－20，f (x)单调递增．而0＜eq \f(1,e)＜1＜e＜3，又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))＝eq \f(1,3e)＋1＞0，f (1)＝eq \f(1,3)＞0，f (e)＝eq \f(e,3)－1＜0，f (6)＝2－ln 6＝ln e2－ln 6>0，所以f (x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，1))上无零点，在区间(1，e)和区间(e,6)上各有一个零点．
3．方程eq \r(x)－ln x－2＝0的根的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C 解析：令f (x)＝eq \r(x)－ln x－2，则由f ′(x)＝eq \f(1,2\r(x))－eq \f(1,x)＝0，得x＝4.
当00，所以f (x)在(e－2,4)，(4，e4)上各有一个零点．
所以对应的方程有2个根．故选C．
4．已知函数f (x)＝ax3－3x2＋1.若f (x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
B 解析：由题意知f ′(x)＝3ax2－6x.
当a＝3时，f ′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0；x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))时，
f ′(x)0.注意f (0)＝1，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(5,9)>0，
则f (x)的大致图象如图(1)所示：
图(1)
不符合题意，排除A，C．
当a＝－eq \f(4,3)时，f ′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,2)))时，f ′(x)0；x∈(0，＋∞)时，f ′(x)