五年高考（2016-2020）高考数学（理）真题分项详解——专题21 不等式选讲

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专题21 不等式选讲【2020年】1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）详解解析；（2）.【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得．所以不等式的解集为．2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为.3.（2020·新课标Ⅲ）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】（1），.均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，.当且仅当时，取等号，，即.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.4.（2020·江苏卷）设，解不等式．【答案】【解析】或或或或所以解集为【2019年】1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为，又，故有．所以．（2）因为为正数且，故有=24．所以．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，．当时，；当时，．所以，不等式的解集为．（2）因为，所以．当，时，．所以，的取值范围是．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或．【答案】（1）；（2）见详解．【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．所以的最小值为．（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立．因此的最小值为．由题设知，解得或．4．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．【答案】．【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．综上，原不等式的解集为．【2018年】1. （2018年全国I卷理数）[选修4–5：不等式选讲]已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）．（2）．【解析】（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．2. （2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—5：不等式选讲]设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1） 的图像如图所示． （2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。4. （2018年江苏卷）[选修4—5：不等式选讲]若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．【答案】4【解析】证明：由柯西不等式，得．因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4．【2017年】1．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而．所以的解集为．（2）当时，．所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．2．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知．证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）（2）因为所以，因此．3．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得．所以的解集为．（2）由得，而，且当时，．故m的取值范围为．【2016年】1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数.（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【答案】（I）见解析（II）【解析】⑴如图所示：⑵ ,当,,解得或,当,,解得或或当,,解得或,或综上,或或,,解集为2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲已知函数，为不等式的解集．（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：当时，．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（I）当时，由得解得；当时， ；当时，由得解得.所以的解集.（II）由（I）知，当时，，从而，因此3. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲已知函数．（I）当时，求不等式的解集；（II）设函数．当时，，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）当时，.解不等式得.因此的解集为.  （Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.   ①      当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.