2020-2021学年3.1空间向量及其运算随堂练习题

这是一份2020-2021学年3.1空间向量及其运算随堂练习题，共9页。
 www.ks5u.com学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有(　　)A．①②　　　　　　 B．②③C．③④ D．②④【解析】　由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．【答案】　D2．已知a＋b＋c＝，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝(　　)A．30° B．45°C．60° D．以上都不对【解析】　∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.【答案】　D3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是(　　)A.与 B.与C.与  D.与【解析】　用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.【答案】　A4.如图3­1­25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)图3­1­25A．2· B．2·C．2· D．2·【解析】　2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确．【答案】　C5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是(　　) 【导学号：18490091】A．1个　 B．2个  C．3个　　 D．0个【解析】　由题意知①②都正确，③不正确，与的夹角为120°.【答案】　B二、填空题6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________．【解析】　|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，∴|2a－3b|＝.【答案】　7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】　由题意知即得λ2＋2λ－2<0.∴－1－<λ<－1＋.【答案】　(－1－，－1＋)8.如图3­1­26，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．图3­1­26【解析】　不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0，故填90°.【答案】　90°三、解答题9．如图3­1­27，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.图3­1­27【证明】　设＝a，＝b，＝c.则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)＋c.∴·＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.∴⊥.∴A1O⊥BD.同理可证⊥.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O⊄平面BDG，∴A1O⊥平面BDG.10．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.【解】　如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝·＝b·＝|b|2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝·(＋)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)A．－1 B．0C．1 D．2【解析】　＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.【答案】　C2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)A．30° B．60°C．90° D．45°【解析】　由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.【答案】　B3．已知正三棱柱ABC­DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________. 【导学号：18490092】【解析】　设＝m，由于＝＋，＝＋m，又·＝0，得×1×1×＋4m＝0，解得m＝.【答案】　4.如图3­1­28，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．图3­1­28【解】　∵＝＋＋，∴||＝＝.∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，∴||＝＝.