


所属成套资源:人教版新课标A数学选修2-1:同步练习
2020-2021学年3.1空间向量及其运算随堂练习题
展开
这是一份2020-2021学年3.1空间向量及其运算随堂练习题,共9页。
www.ks5u.com学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|=;③a2b=b2a;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有( )A.①② B.②③C.③④ D.②④【解析】 由于数量积不满足结合律,故①不正确,由数量积的性质知②正确,③中,|a|2·b=|b|2·a不一定成立,④运算正确.【答案】 D2.已知a+b+c=,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角〈a,b〉=( )A.30° B.45°C.60° D.以上都不对【解析】 ∵a+b+c=0,∴a+b=-c,∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=|c|2,∴a·b=,∴cos〈a,b〉==.【答案】 D3.已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是( )A.与 B.与C.与 D.与【解析】 用排除法,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,故·=0,排除D;因为AD⊥AB,PA⊥AD,又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,故·=0,排除B,同理·=0,排除C.【答案】 A4.如图3125,已知空间四边形每条边和对角线都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )图3125A.2· B.2·C.2· D.2·【解析】 2·=-a2,故A错;2·=-a2,故B错;2·=-a2,故D错;2·=2=a2,故只有C正确.【答案】 C5.在正方体ABCDA1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=32;②·(-)=0;③与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( ) 【导学号:18490091】A.1个 B.2个 C.3个 D.0个【解析】 由题意知①②都正确,③不正确,与的夹角为120°.【答案】 B二、填空题6.已知|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=60°,则|2a-3b|=________.【解析】 |2a-3b|2=(2a-3b)2=4a2-12a·b+9b2=4×|a|2+9×|b|2-12×|a|·|b|·cos 60°=61,∴|2a-3b|=.【答案】 7.已知|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________.【解析】 由题意知即得λ2+2λ-2<0.∴-1-<λ<-1+.【答案】 (-1-,-1+)8.如图3126,已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________.图3126【解析】 不妨设棱长为2,则1=-,=+,cos〈,〉===0,故填90°.【答案】 90°三、解答题9.如图3127,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点.求证:A1O⊥平面BDG.图3127【证明】 设=a,=b,=c.则a·b=0,a·c=0,b·c=0.而=+=+(+)=c+(a+b),=-=b-a,=+=(+)+=(a+b)+c.∴·=·(b-a)=c·(b-a)+(a+b)·(b-a)=c·b-c·a+(b2-a2)=(|b|2-|a|2)=0.∴⊥.∴A1O⊥BD.同理可证⊥.∴A1O⊥OG.又OG∩BD=O且A1O⊄平面BDG,∴A1O⊥平面BDG.10.已知长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点,试计算:(1)·;(2)·;(3)·.【解】 如图所示,设=a,=b,=c,则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.(1)·=·(+)=·=b·=|b|2=42=16.(2)·=(+)·(+)=·(+)=·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.(3)·=(+)·(+)=·=·=(-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2.[能力提升]1.已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1,则·的值为( )A.-1 B.0C.1 D.2【解析】 =+=+(+)=+(+),而=+,则·=(2+2)=1,故选C.【答案】 C2.已知a,b是两异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b且AB=2,CD=1,则直线a,b所成的角为( )A.30° B.60°C.90° D.45°【解析】 由于=++,则·=(++)·=2=1.cos〈,〉==,得〈,〉=60°.【答案】 B3.已知正三棱柱ABCDEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上有一点N,使MN⊥AE,则=________. 【导学号:18490092】【解析】 设=m,由于=+,=+m,又·=0,得×1×1×+4m=0,解得m=.【答案】 4.如图3128,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.图3128【解】 ∵=++,∴||==.∵AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,∴〈,〉=90°,〈,〉=〈,〉=60°,∴||==.
相关试卷
这是一份高中数学人教版新课标A选修2-1第三章 空间向量与立体几何综合与测试第3课时当堂检测题,共13页。
这是一份高中数学人教版新课标A选修2-13.2立体几何中的向量方法第2课时课后练习题,共11页。
这是一份数学选修2-13.2立体几何中的向量方法第1课时同步达标检测题,共8页。
