数学24.6.1 正多边形与圆精品课时训练

这是一份数学24.6.1 正多边形与圆精品课时训练，共9页。

一、选择题


1.如果一个正多边形的内角和等于720°,那么这个正多边形是( )


A.正六边形 B.正五边形 C.正方形 D.正三角形


2.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( )


A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形


3.如图1,在圆内接正五边形ABCDE中,∠ADB等于( )


A.35° B.36° C.40° D.54°


图1 图2


4.如图2,正五边形ABCDE内接于☉O,M为BC的中点,N为DE的中点,则∠MON的大小为( )


A.108° B.144° C.150° D.166°


5.如图3,是正八边形,下列说法错误的是( )


A.正八边形有外接圆 B.连接BF,则BF是∠EFG和∠ABC的平分线


C.连接AC,AF,CF,则△ACF是等边三角形 D.四边形AFGH与四边形CFED的面积相等


图3 图4


6.如图4,正六边形ABCDEF内接于☉O,P为DE上一点,则tan∠APC的值为( )


A.3 B.32 C.33 D.1


7.（2020•随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，


则下列结论不正确的是（ ）





A．h＝R+rB．R＝2rC．r=34aD．R=33a


二、填空题


8.△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A,B与它的中心O为顶点的三角形,若△OAB的一个内角为70°,则该正多边形的边数为 .


9.用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图5①.用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接,如图K-13-5②,若围成一圈后中间形成一个正多边形,则n的值为 .


图5


10.(2019·海南) 如图6,O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为________度.


如图6 如图7


11.（2020•南京）如图7，在边长为2cm的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．





三、解答题


12.如图8，AD，AE是正六边形ABCDEF的两条对角线，不添加任何辅助线，请你写出两个正确的结论．(不必说明理由)


如图8





13如图9,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在CD上(不与点C重合).


(1)求∠BPC的度数;


(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.


图9


























14如图10所示,已知正六边形ABCDEF的对角线DF与对角线AE,CE分别交于点G和H.


求证:FG=GH=HD.


图10

















15.如图11,在△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C,D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A,C,D的☉O分别交AF,AG于点B,E.连接BC,DE.


求证:五边形ABCDE是正五边形.





图11

















答案解析


1.[答案] A


2.[解析] A ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°,正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°,正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°,正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°,∴在这些圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.


3.[解析] B 由圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分,即可求得每条弧的度数,根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半即可求解.


4.[解析] B 由题意可知∠OMC=∠OND=90°,∴∠MON=(5-2)×180°-90°×2-108°×2=144°.


5.[解析] C 设☉O是该正八边形的外接圆,则AB的度数为45°,则∠AFC=45°,所以△ACF不可能为等边三角形.





6.[解析] A 连接OA,OB,OC,如图所示.


∵∠AOB=∠BOC=360°6=60°,


∴∠AOC=120°,


∴∠APC=12∠AOC=60°,


∴tan∠APC=3.故选A.


7.【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，


∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，


设OE＝r，AO＝R，AD＝h，


∴h＝R+r，故A正确；


∵AD⊥BC，


∴∠DAC=12∠BAC=12×60°＝30°，


在Rt△AOE中，


∴R＝2r，故B正确；


∵OD＝OE＝r，


∵AB＝AC＝BC＝a，


∴AE=12AC=12a，


∴（12a）2+r2＝（2r）2，（12a）2+（12R）2＝R2，


∴r=3a6，R=33a，故C错误，D正确；


故选：C．





8.[答案] 9


[解析] 当∠OAB=70°时,∠AOB=40°,则正多边形的边数是360°÷40°=9;


当∠AOB=70°时,360°÷70°的结果不是整数,故不符合题意.故答案是9.


9.[答案] 6


[解析] ∵正六边形的每个内角=6-26×180°=120°,∴围成一圈后中间形成的正多边形的一个内角=360°-2×120°=120°,故它是正六边形.


10.【答案】144


【解析】∵O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,∴OB⊥AB,OD⊥DE,∵正五边形每个内角为108°,∴∠O＝∠C+∠OBC+∠ODC＝108°×3－90°×2＝144°.


11.【解析】连接BF，BE，过点A作AT⊥BF于T





∵ABCDEF是正六边形，


∴CB∥EF，AB＝AF，∠BAF＝120°，


∴S△PEF＝S△BEF，


∵AT⊥BE，AB＝AF，


∴BT＝FT，∠BAT＝∠FAT＝60°，


∴BT＝FT＝AB•sin60°=3，


∴BF＝2BT＝23，


∵∠AFE＝120°，∠AFB＝∠ABF＝30°，


∴∠BFE＝90°，


∴S△PEF＝S△BEF=12•EF•BF=12×2×23=23，


故答案为23．


12. 解：本题答案不唯一，如：


①△ADE是直角三角形；


②AD是正六边形ABCDEF外接圆的直径；


③AD∥BC.


13.解:(1)如图,连接OB,OC.





∵四边形ABCD为正方形,


∴∠BOC=90°,∴∠BPC=12∠BOC=45°.


(2)由题意可知△OBC是等腰直角三角形,


∴BC=2OB=82.


即正方形ABCD的边长为82.


14.[解析] 由正六边形的性质得出AF=EF=DE=CD,∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°,由等腰三角形的性质得出∠GEF=∠GFE=∠HED=∠HDE=30°,得出FG=EG,HD=HE,由三角形的外角性质得出∠EGH=∠EHG=60°,证出△EGH是等边三角形,得出GH=EG=HE,即可得出结论.


证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,


∴AF=EF=DE=CD,∠AFE=∠DEF=∠CDE=120°,


∴∠GEF=∠GFE=∠HED=∠HDE=30°,


∴FG=EG,HD=HE,∠EGH=60°,


∠EHG=60°,∴△EGH是等边三角形,


∴GH=EG=HE,∴FG=GH=HD.


15.证明:因为AF=AG,∠FAG=108°,


所以∠F=∠G=36°.


因为CF=CA,DG=DA,


所以∠1=∠2=36°,所以∠3=36°.


所以BC=CD=DE.


因为∠4=∠1+∠F=72°,∠2=36°,


所以AED的度数为144°,DE的度数为72°.


所以AE=DE.同理AB=BC,


所以AB=BC=CD=DE=AE,


所以A,B,C,D,E为☉O的五等分点.


所以五边形ABCDE是正五边形.