第53讲 双曲线-2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第53讲 双曲线

一、课程标准

1、了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．

2、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质．

3、通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.

二、基础知识回顾

1、 双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.

(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；

(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；

(3)当a＞c时，点P不存在．

2 、双曲线的标准方程和几何性质

三、常用结论

1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．

2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．

3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.

4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

四、自主热身、归纳总结

1、 双曲线－＝1的焦距为(　　)

A. 5  B.   C. 2  D. 1

2、以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)

A. x2－＝1  B. －y2＝1

C. x2－＝1  D. －＝1

3、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(      )

A. －＝1  B. －＝1

C. －＝1  D. －＝1

4、设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)

A.  B．2

C.                             D.

5、(多选)已知双曲线C过点(3，)且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)

A．C的方程为－y2＝1

B．C的离心率为

C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点

D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点

6、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．

7、(2020·广东揭阳一模)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为________．

五、例题选讲

考点一、双曲线的定义

例1　(1)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直

线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝____．

(2)已知点P为双曲线－＝1右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心(角平分线交于一点)，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为____．

变式1、（华东师范大学附中2019届模拟）(1)设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3＝4，则△PF1F2的面积等于(　　)

A．4  B．8

C．24  D．48

(2)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．

变式2、已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为____．

方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．

(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立为|PF1|·|PF2|的关系．

(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．

考点二、双曲线的标准方程

例2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．

(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的标准方程为___．

变式1、　根据下列条件，求双曲线的标准方程．

(1)虚轴长为12，离心率为；

(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；

(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．

变式2、（1）焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．

（2）过双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．

方法总结:求双曲线标准方程的一般方法

(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．

(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．

考点三、 双曲线的性质

例3、(2020·福建厦门一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±2x  D．y＝±x

变式1、已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，且双曲线C上的点P满足·＝0，||＝3，||＝4，则双曲线C的离心率为________．

变式2、　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．

变式3、　已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．

方法总结：双曲线中一些几何量的求解方法

(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．

(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．

(3)求双曲线的方程：依据题设条件求出a，b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程．

(4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．

考点四、直线与双曲线的位置关系

例4、一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于点R，且·＝－3，＝3，求直线和双曲线的方程．

变式、若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．

(1)求k的取值范围；

(2)若＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．

方法总结：解有关直线与双曲线的位置关系的方法

(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．

(2)与中点有关的问题常用点差法．

(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．

六、优化提升与真题演练

1、（2020年高考天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（   ）

A．     B．    C．     D．

2、（2020年高考全国Ⅲ卷理数）.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（   ）

A． 1  B． 2 

C． 4  D． 8

3、（2020年高考全国Ⅱ卷理数）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（   ）

A．4  B．8 

C．16  D．32

4、(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为（   ）

A.－＝1  B.－＝1

C.－＝1  D.－＝1

5、（2019年全国Ⅱ卷）设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为（   ）

A．   B．  

C．2  D．

6、(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是__________．