人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题12 函数之二次函数几何应用问题（含解析）

专题12 函数之二次函数几何应用问题中考压轴题中函数之二次函数的几何应用问题，主要是解答题，常见问题有以三角形为背景问题，以四边形为背景问题和以圆为背景问题三类。有关二次函数中的动态几何问题在以后的专题中阐述。一. 以三角形为背景问题1. 如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为斜边的等腰直角三角形ABC的顶点C的坐标为         .【答案】（3，7）或（3，1）。【考点】二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，分类思想的应用。∴CD=AD=3，且CD⊥AB。∴若点C在AB上方，则C1（3，7）；若点C在AB下方，则C2（3，1）。2. 如图，抛物线的顶点为D（﹣1，4），与轴交于点C（0，3），与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）。（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线上，EF⊥x轴于点F，以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，试求出所有满足条件的点E的坐标。【答案】（1）由题意得   ，解得：，∴解析式的解析式为：。              （3）设E，分两种情况讨论：               ①若△AFE∽△ACD，如图1，则，即，整理，得，解得（与点A重合，舍去），当时，。∴此时，点E的坐标为。                【考点】二次函数综合题，二次函数顶点，直角三角形的判定，勾股定理和逆定理，相似三角形的性质，解一元二次方程，分类思想的应用。3. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0， 3）。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），∴可设抛物线的解析式为：，      将C点坐标（0， 3）代入，得：，解得 。∴抛物线的解析式为：，即。        ∴PN=PE﹣NE=（）﹣（）=﹣x2﹣3x。∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴。∴当x= 时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）。（3）在y轴上存在点M，能够使得△ADE是等腰直角三角形。理由如下：∵，∴顶点D的坐标为（﹣1， 4）。【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，由实际问题列函数关系式，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理和逆定理。二. 以四边形为背景问题4如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点. （1）求点的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式. 【答案】（1）A（2，0），B（6，0），C（4，8）；（2）y=-2x2+16x+8【解析】（2）由抛物线的顶点为C（4，8），可设抛物线的解析式为y=a（x-4）2+8，把A（2，0）代入上式，解得a=-2．                                   设平移后抛物线的解析式为y=-2（x-4）2+8+k， 把（0，8）代入上式得k=32，5.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点B。（1）若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点B、D、E，求△ BDE的面积S的最大值；（2）若抛物线与矩形有且只有三个交点B、M、N，线段MN的垂直平分线l过点C，交线段OA于点F。当AF＝1时，求抛物线的解析式。【答案】（1）∵a＝－l，∴。又∵抛物线过点B(6，3)，∴，即。∴如图① ，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与ｙ轴的交点应落在原点或原点下方。∴　当x＝0时，y≤0。∴，即。由抛物线的对称性可知： 。 又∵ △ BDE的高＝BC＝3，∴ S＝。∵ ＞0，∴ S随b的增大而减少。∴ 当b＝时，S的最大值＝。如图② ，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、AO边上时，抛物线与直线x＝0的交点应落在线段AO上且不与点A重合，即0≤＜3。当x＝0，则，∴ 0≤＜3，∴ 。∴ AE＝。∴ S＝BD·AE＝。∵ ＜0，∴ S随b的增大而增大。∴ 当b＝时，S的最大值＝。综上所述：S的最大值为。（2）当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。               　　 当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：① 当点M、N分别在AB、OC边上时．如图③ ,过M点作MG⊥ OC于点G，连接CM，                　　∴ MG＝OA＝3．∠2＋∠ MNＧ＝90°。              　　  ∵ CF垂直平分MN．∴ CM＝ＣN，∠1＋∠ MNＧ=90°，∠ 1＝∠ 2。               　　 ∵　AF＝1，OF＝3－1＝2。                　　∴　，。∴　GN＝GM＝1。设N(n，0)，则G(n＋1，0)，∴　M(n＋1，3)。 ∴　BM＝，CM＝CN＝。 在Rt△BCM中，，                　　∴ ，解得n＝1。∴　M(2，3)，N(1，0)。把M(2，3)，N(1，0)，B(6，3)分别代入，得，解得。∴抛物线的解析式为。设N(0，n)．则FN＝2－n，AN＝3一n。∴MF＝2－n，AM＝。在Rt△MABF中，∵，∴。解得： (不合题意舍去)，∴。∴AM＝，∴　M(，3)，N(0，) 。把M(，3)，N(0，)， B(6，3)分别代入，得，解得　。∴抛物线的解析式为。综上所述，抛物线的解析式为或。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。三. 以圆为背景问题6. 如图，已知二次函数（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点．（1）写出A、B两点的坐标（坐标用m表示）；（2）若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上，求二次函数的解析式；（3）设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点，求CD的长．【答案】解：（1）∵，∴当y=0时，。解得x1=﹣m，x2=3m。∵m＞0，∴A、B两点的坐标分别是（﹣m，0），（3m，0）。（2）∵A（﹣m，0），B（3m，0），m＞0，∴，圆的半径为AB=2m。∴OM=AM﹣OA=2m﹣m=m。∴抛物线的顶点P的坐标为：（m，﹣2m）。∵二次函数（m＞0）的顶点P的坐标为：（m，﹣4m2），∴﹣2m=﹣4m2，解得m1=，m2=0（舍去）。∴二次函数的解析式为，即。（3）如图，连接CM，在Rt△OCM中，∵∠COM=90°，CM=2m=2×=1，OM=m=，∴。∴CD=2OC=。