2020年江苏省无锡市中考数学试卷

 绝密★启用前2020年江苏省无锡市中考数学试卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分     评卷人得分  一、 选择题（共10题）1.  的倒数是．A.  B.  C.  D. 2.  函数中自变量的取值范围是．A． B． C． D．3.  已知一组数据：，，，，，这组数据的平均数和中位数分别是．A．， B．， C．， D．，4.  若，，则的值等于．A． B． C． D．5.  正十边形的每一个外角的度数为．A． B． C． D．6.  下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是．A. 圆B. 菱形C. 平行四边形D. 等腰三角形7.  下列选项错误的是．A．  B．C．  D．8.  反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为．A． B． C． D．9.  如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度． A． B． C． D．10. 如图，等边的边长为，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；② 与可能相似；③ 四边形面积的最大值为；④ 四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为． A．① ④ B．② ④ C．① ③ D．② ③ 评卷人得分  二、 填空题（共8题）11. 因式分解：_​_​_​_​_​_​_​_​．12. 年我市地区生产总值逼近亿元，用科学记数法表示是_​_​_​_​_​_​_​_​．13. 已知圆锥的底面半径为，高为，则它的侧面展开图的面积为_​_​_​_​_​_​_​_​．14. 如图，在菱形中，，点在上，若，则_​_​_​_​_​_​_​_​． 15. 请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为轴：_​_​_​_​_​_​_​_​．16. 我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是_​_​_​_​_​_​_​_​尺．17. 二次函数的图象过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为_​_​_​_​_​_​_​_​．18. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，，连接，，相交于点，则面积最大值为_​_​_​_​_​_​_​_​．  评卷人得分  三、 解答题（共10题）19. 计算：（1）；（2）．20. 解方程：（1）；（2）．21. 如图，已知，，．求证：（1）；（2）． 22. 现有张正面分别写有数字、、、的卡片，将张卡片的背面朝上，洗匀．（1）若从中任意抽取张，抽的卡片上的数字恰好为的概率是         ；（2）若先从中任意抽取张（不放回），再从余下的张中任意抽取张，求抽得的张卡片上的数字之和为的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23. 小李年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），年底到年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元） 年份年年年年年年收入支出存款余额（1）表格中         ；（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？ 24. 如图，已知是锐角三角形．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为         ． 25. 如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．（1）求证：；（2）求的周长． 26. 有一块矩形地块，米，米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为米．现决定在等腰梯形和中种植甲种花卉；在等腰梯形和中种植乙种花卉；在矩形中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为元米、元米、元米，设三种花卉的种植总成本为元．（1）当时，求种植总成本；（2）求种植总成本与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过平方米，求三种花卉的最低种植总成本． 27. 如图，在矩形中，，，点为边上的一点（与、不重合），四边形关于直线的对称图形为四边形，延长交于点，记四边形的面积为．（1）若，求的值；（2）设，求关于的函数表达式． 28. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交二次函数的图象于点，，点在该二次函数的图象上，设过点（其中）且平行于轴的直线交直线于点，交直线于点，以线段、为邻边作矩形．（1）若点的横坐标为．① 用含的代数式表示的坐标；② 点能否落在该二次函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由．（2）当时，若点恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线的函数表达式．  参考答案及解析一、 选择题1.  【答案】D 【解析】解：的倒数是． 故选根据乘积是的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2.  【答案】B 【解析】由题意得，，解得．故选：【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．3.  【答案】A 【解析】这组数据的平均数是：；把这组数据从小到大排列为：，，，，，最中间的数是，则中位数是．故选：【点评】此题考查了平均数和中位数，掌握平均数的计算公式和中位数的定义是本题的关键；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．4.  【答案】C 【解析】，，，整理得：，即，则的值为．故选：【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.  【答案】A 【解析】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：．故选：【点评】本题考查多边形的外角和的性质，理解正多边形的每一个外角都相等是正确计算的前提．6.  【答案】D 【解析】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．故选根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．7.  【答案】D 【解析】．，故本选项不合题意；．，故本选项不合题意；．，故本选项不合题意；．，故本选项符合题意．故选： 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．8.  【答案】C 【解析】一次函数的图象过点，，点， 反比例函数过点，．故选：【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．9.  【答案】B 【解析】方法一：如图， 延长交于点，过点作于点，设，，，，，，，，由翻折可知：，，，，，，，，，，，，，，，，，由翻折可知：，，是的角平分线，，，解得．方法二：如图， 过点作，由折叠可知：，，，，，设，由折叠性质可知，，，，解得，，，在直角三角形中，，解得．故选：【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．10. 【答案】D 【解析】① 利用图象法可知，或通过计算可知的最大值为，的最小值为，所以，故① 错误；② 设，则，，当或时，与相似，即或，解得或或，当或或时，两三角形相似，故② 正确；③ 设，则四边形的面积，的最大值为，时，四边形的面积最大，最大值，故③ 正确；如图， 作点关于的对称点，作，使得，连接交于点，在射线上取，此时四边形的周长最小．过点作交的延长线于，交于．由题意，，，，，，，四边形的周长的最小值，故④ 错误．故选：【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、 填空题11. 【答案】； 【解析】原式．故答案为：．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12. 【答案】； 【解析】．故答案为：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．13. 【答案】； 【解析】根据题意可知，圆锥的底面半径，高，圆锥的母线，．故答案为：．【点评】此题考查圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是个扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是底面圆的周长．掌握圆锥的侧面积公式：是解题的关键．14. 【答案】； 【解析】四边形是菱形，平分，，，，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．15. 【答案】； 【解析】图象的对称轴是轴，函数表达式（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记形如的二次函数的性质是解答本题的关键．16. 【答案】； 【解析】设绳长是尺，井深是尺，依题意有，解得．故井深是尺．故答案为：．【点评】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程（组，再求解．17. 【答案】或； 【解析】把点代入得，，解得：，，，抛物线的对称轴为，设点的坐标为：， 当，过作对称轴于， 则，，，，，，当，，，， 综上所述，点的坐标为或．【点评】本题考查的是二次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，涉及到解直角三角形，有一定的综合性，难度适中．18. 【答案】； 【解析】如图，过点作， 则，，，，，，，，，在以为直径的圆上，设圆心为，当时，的面积最大为：，此时的面积最大为：．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．三、 解答题19. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）原式；（2）原式．【点评】本题主要考查了实数的运算以及分式的加减法，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．20. 【答案】（1），（2） 【解析】（1），，，，，，；（2），解① 得，解② 得，所以不等式组的解集为．【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了解一元一次不等式组．21. 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】（1），，，，即，在和中，​，；（2），，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，这属于几何基础知识的考查，难度不大．22. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）从中任意抽取张，抽的卡片上的数字恰好为的概率，故答案为：；（2）画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中抽得的张卡片上的数字之和为的倍数的结果数为，所以抽得的张卡片上的数字之和为的倍数的概率．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．23. 【答案】（1）（2）（3）年， 万元 【解析】（1），解得，故答案为：；（2）根据题意得，解得，即存款余额为万元，条形统计图补充为： （3）小李在年的支出最多，支出了为万元．【点评】本题考查了图象统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．24. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）如图直线，即为所求． （2）过点作于．设，，，垂直平分线段，，，，，解得．故答案为：．【点评】本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25. 【答案】（1）答案见解析（2） 【解析】（1）是的切线，，，，，，，又，；（2），，，，，，，，，的周长．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．26. 【答案】（1）元（2）（3）元 【解析】（1）当时，，，；（2）米，米，参考（1），由题意得：；（3），同理，甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米，，解得：，故，而随的增大而减小，故当时，的最小值为，即三种花卉的最低种植总成本为元．【点评】本题考查了二次函数和一次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．27. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）当，，，，，，，四边形关于直线的对称图形为四边形，，，，为等边三角形，；（2）过作于， 由（1）可知，，，设，，则，，在中，，解得：，．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．28. 【答案】（1）① ；② 答案见解析（2）的解析式为或 【解析】（1）① 点在的图象上，横坐标为，，直线的解析式为，点的纵坐标为，．② 假设能在抛物线上，，直线的解析式为，点在直线上，纵坐标为，，的中点的坐标为，，把点坐标代入抛物线的解析式得到．（2）① 当点在轴的右侧时，设，直线的解析式为，，，直线的解析式为，可得， ，，代入抛物线的解析式得到，，解得，直线的解析式为．② 当点在轴的左侧时，即为① 中点的位置，直线 的解析式为，综上所述，满足条件的直线的解析式为或． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，审题中考压轴题．