2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第五章三角函数、解三角形5.5

§5.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
最新考纲
考情考向分析
了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换以及由图象求函数解析式为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为选择题和填空题，中档难度.



1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示：
x





ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径

概念方法微思考
1．怎样从y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？
提示　向左平移个单位长度．
2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？
提示　x＝＋－(k∈Z)．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位长度得到的．(　√　)
(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　×　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)
(4)函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)
题组二　教材改编
2．[P55T2]为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象向________平移________个单位长度．
答案　右　
3．[P56T3]y＝2sin的振幅、频率和初相分别为__________________．
答案　2，，－
题组三　易错自纠
4．(2018·嘉兴第一中学期中考试)为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　A
解析　y＝sin＝cos
＝cos＝cos，
故把函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象．
5．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为________________．
答案　y＝2sin
解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期，即个单位长度，
所得函数为y＝2sin＝2sin.
6．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．
答案　
解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
7.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．

答案　
解析　由题干图象可知A＝2，T＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos ＝.

题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．
解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.
又因为当x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，
所以φ＝，
所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈，
列表如下：
2x＋


π

2π

x
0




π
f(x)
1
2
0
－2
0
1

描点、连线得图象：


引申探究
在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．
解　由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin＝2sin是偶函数，所以2m－＝(2k＋1)，k∈Z，m＝＋，k∈Z，
又因为m>0，所以m的最小值为.
思维升华 (1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．
(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
跟踪训练1　(1)把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为________________．
答案　y＝sin
解析　把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin 2x的图象，再把该函数图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＝sin的图象．
(2)已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)满足条件：f＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　A
解析　由题意得sin＝0，即－ω＋＝kπ(k∈Z)，则ω＝－2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝，所以f(x)＝sin＝cos＝cos，所以只需将函数g(x)＝cos x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A.





题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2 (1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝________________.

答案　2sin
解析　由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝，所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.
(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．

答案　
解析　根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝sin，
∴f＝sin，
当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．
思维升华 y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．



跟踪训练2 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的值可能为(　　)

A. B. C. D.
答案　D
解析　依题意得解得
＝＝－＝，
故ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)＋.
又f＝sin＋＝，
故＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，故φ＝，
所以f(x)＝sin＋.
将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后得到g(x)＝sin＋的图象，又函数g(x)的图象关于点对称，即h(x)＝sin的图象关于点对称，故sin＝0，即＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝－(k∈Z)．令k＝2，则m＝.





题型三　三角函数图象、性质的综合应用


命题点1　图象与性质的综合问题
例3 (2018·浙江省知名重点中学联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h(A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．

解　(1)由三角函数的图象可知，
得
设函数f(x)的最小正周期为T，则由题意得＝－，所以T＝π，
所以＝π，解得ω＝2.
因为函数f(x)的图象过点，且0<φ<，
所以2＝sin＋1，解得φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin＋1.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋1，
因为将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)图象，
所以g(x)＝sin＋1＝sin＋1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
命题点2　函数零点(方程根)问题
例4 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
引申探究
本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．
答案　[－2,1)
解析　由上例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．
思维升华 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
跟踪训练3　(1)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　A
解析　将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin.当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－.
(2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________．
答案　π
解析　∵f(0)＝f，∴x＝是f(x)图象的一条对称轴，∴f＝±1，∴×ω＋＝＋kπ，k∈Z，
∴ω＝6k＋2，k∈Z，∴T＝(k∈Z)．
又f(x)在上有且只有一个零点，
∴<≤－，∴ ∴<≤(k∈Z)，∴－≤k<，
又∵k∈Z，∴k＝0，∴T＝π.

三角函数图象与性质的综合问题
例 (14分)已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
规范解答
解　(1)f(x)＝2sincos
－sin(x＋π)＝cos x＋sin x[3分]
＝2sin，[5分]
于是T＝＝2π.[6分]
(2)由已知得g(x)＝f＝2sin，[9分]
∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴sin∈，[12分]
∴g(x)＝2sin∈[－1,2]．[13分]
故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]

解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤
第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝·；
第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．



1．(2018·嘉兴基础测试)由函数y＝cos 2x的图象变换得到函数y＝cos的图象，这个变换可以是(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　B
解析　由于函数y＝cos＝cos2，因此该函数的图象是由函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位长度得到的，故选B.



2．若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝cos，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y＝cos，且该函数为偶函数，
故2φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为.
3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　)

A．[－1＋4kπ，1＋4kπ](k∈Z)
B．[－3＋8kπ，1＋8kπ](k∈Z)
C．[－1＋4k,1＋4k](k∈Z)
D．[－3＋8k,1＋8k](k∈Z)
答案　D
解析　由题图知，T＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin.把(1,1)代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得8k－3≤x≤8k＋1(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[8k－3,8k＋1](k∈Z)．
5．若函数y＝sin(ωx－φ)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝－
答案　A
解析　由题图可知，T＝2＝π，
所以ω＝＝2，又sin＝0，
所以－φ＝2kπ(k∈Z)，
即φ＝－2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，故选A.
6．将函数f(x)＝sin(x＋φ)的图象向左平移个单位长度后是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　A
解析　将函数f(x)＝sin(x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，该函数为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，即f(x)＝sin.当x∈时，x－∈，所以当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－.
7．已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝________.

答案　
解析　由题干图象知＝2×＝，所以ω＝2.
因为2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
又|φ|<，所以φ＝，这时f(x)＝Atan.
又函数图象过点(0,1)，代入上式得A＝1，所以f(x)＝tan.所以f＝tan＝.
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.

答案　
解析　由题图可知，＝－＝，
则T＝π，ω＝2，又＝，
所以f(x)的图象过点，即sin＝1，
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，可得φ＝，所以f(x)＝sin.
由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈，
可得x1＋x2＝－＋＝，
所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝.
9．(2018·“七彩阳光”联盟期初联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象过点，若f(x)≤f对x∈R恒成立，则ω的值为__________；当ω最小时，函数g(x)＝f－在区间[0,22]上的零点个数为________．
答案　1＋12k(k∈N)　8
解析　由题意得φ＝，且当x＝时，函数f(x)取得最大值，故ω＋＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝1＋12k，k∈Z，又ω>0，所以ω＝1＋12k，k∈N，则ω的最小值为1.因此g(x)＝f－＝sin x－，又7π<22<8π，所以函数g(x)在区间[0,22]上的零点个数是8.
10．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
答案　
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，
因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.
11．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)求ω的值，并求出函数f(x)的单调递增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．
解　(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ(k∈Z)，ω＝－3k＋(k∈Z)，
因为0<ω<1，所以当k＝0时，可得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]，
列表如下：
x＋
－
－
0

π

x
－π
－
－


π
f(x)
－1
－2
0
2
0
－1

作出函数部分图象如图所示：

12．(2018·浙江五校联考)已知函数f(x)＝asin 2x＋bcos 2x(其中a，b为非零常数)的图象经过点，.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈，f(x)＝，求cos 2x的值．
解　(1)由题意得得
故f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得
－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(x)＝2sin＝，
得sin＝，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴cos＝.
∴cos 2x＝cos
＝cos×cos －sin×sin 
＝×－×＝－.

13．(2018·浙江省六校协作体期末联考)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的一个可能值是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由函数f(x)＝3sin(ωx＋θ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得函数f(x)的最小正周期为π，则π＝，所以ω＝2，函数f(x)＝3sin(2x＋θ)的图象向右平移φ个单位长度，得到g(x)＝3sin(2x＋θ－2φ)的图象，因为f(x)，g(x)的图象都经过点P，所以sin θ＝，sin(θ－2φ)＝，又－<θ<，所以θ＝，所以sin＝，所以－2φ＝2kπ＋(k∈Z)或－2φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－kπ－(k∈Z)，因为φ>0，所以结合选项知φ的一个可能值是，故选D.
14．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为________．
答案　π
解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ω>0)．
由2sin＝1，得sin＝，
∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)．
令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝，
∴x1＝0，x2＝.由|x1－x2|＝，
得＝，∴ω＝2.故f(x)的最小正周期T＝＝π.

15．已知函数y＝Msin(ωx＋φ)(M>0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x＝对称．该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，C＝90°，则f的值为________．

答案　
解析　依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝sin(πx＋φ)．
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴f＝sin＝±.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，∴φ＝，
∴f＝sin＝.
16．已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，则实数m的取值范围为________________．
答案　(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析　∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象在y轴上的截距为1，∴Asin φ－＝1，即Asin φ＝.
∵函数f(x)＝Asin(2x＋φ)－的图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<，∴φ＝，∴A·sin＝，
∴A＝，∴f(x)＝sin－.
当x∈时，2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－－＝－2.
令m2－3m≥－2，解得m≥2或m≤1.