2020版江苏高考数学一轮复习学案：第58课《复数的概念及其运算》(含解析)

第58课　复数的概念及其运算

1.  了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.

2.  理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算.

1. 阅读：选修 22 第109～117页.

2. 解悟：①数系的扩充；②复数的四则运算与共轭复数；③与加法一样，复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积，再与第一个复数相乘，从而验证复数乘法满足结合律；④根据复数相等的充要条件，应用待定系数法求复数，是常用的方法之一.

3. 践习：在教材空白处，完成第118～119页习题第2、3、6、12题.

　基础诊断　

1. 若复数z＝(1＋mi)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为　－2　.

解析：由题意得，z＝(1＋mi)(2－i)＝2＋m＋(2m－1)i.因为复数z是纯虚数，所以2＋m＝0，且2m－1≠0，解得m＝－2.

2.  设复数z＝(m>0，i为虚数单位)，若z＝z，则m的值为　　.

解析：z＝＝＝.因为z＝z，所以3－m2＝0，解得m＝±.因为m>0，所以m＝.

3. 已知复数z＝，其中i是虚数单位，则|z|＝　　.

解析：z＝＝＝－i，所以|z|＝＝.

4. 设复数z满足(1＋2i)·z＝3(i为虚数单位)，则复数z的实部为　　.

解析：因为(1＋2i)·z＝3，所以z＝＝＝，所以复数z的实数为.

　范例导航　

考向❶  复数的基本运算

例1　(1) ；

(2) ＋；

(3) (－1＋i)3；

(4)  .

解析：(1) 原式＝(－1＋i)(2＋i)i＝(－3＋i)i＝－1－3i.

(2) 原式＝＋＝＝＝－1.

(3)  原式＝(－1＋i)2(－1＋i)＝－2(1＋i)·(－1＋i)＝－2×(－4)＝8.

(4) 原式＝(－i)18＝[(－i)2]9＝－1.

1. 设1＋2i＝2i(a＋bi)(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b的值是　　.

解析：因为1＋2i＝2i(a＋bi)＝－2b＋2ai，所以解得所以a＋b＝1－＝.

2. 设＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则ab的值为　0　.

解析：因为＝i，所以a＋bi＝i，所以a＝0，b＝1，所以ab＝0.

3. 设复数z满足(z＋i)(2＋i)＝5(i为虚数单位)，则z＝　2－2i　.

解析：因为(z＋i)(2＋i)＝5，所以z＝－i＝2－i－i＝2－2i.

4. 设复数zi＝1＋2i(i为虚数单位)，则z＝　2－i　.

解析：因为zi＝1＋2i，所以z＝＝2－i.

考向❷  复数的模与共轭复数

例2　(1) 若复数z＝(i为虚数单位)，则z的模为　　；

解析：z＝＝＝＋i，所以|z|＝＝.

(2) 复数z＝ (a<0)，其中i为虚数单位，|z|＝，则a的值为　－5　；

解析：z＝＝＝＋i.因为|z|＝，所以＋＝5，解得a＝±5.因为a<0，所以a＝－5.

(3) 若x－1＋yi与i－3x 是共轭复数(x，y是实数)，则x＋y＝　－　；

解析：由题意得解得所以x＋y＝－1＝－.

(4) 记复数z＝a＋bi(i为虚数单位)的共轭复数为z＝a－bi(a，b∈R)，已知z＝2＋i，则z2＝　3－4i　.

解析：因为z＝2＋i，所以z2＝3＋4i，所以z2＝3－4i.

考向❸  复数的实部与虚部

例3　(1) 若复数z＝(1－i)(m＋2i)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为　－2　；

解析：z＝(1－i)(m＋2i)＝m＋2＋(2－m)i.因为复数z是纯虚数，所以解得故实数m的值为－2.

(2) 已知复数z＝(a－i)(1＋2i)(a∈R，i为虚数单位)，若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则实数 a＝　　；

解析：z＝(a－i)(1＋2i)＝(a＋2)＋(2a－1)i.因为复数z在复平面内对应的点在实轴上，所以2a－1＝0，即a＝.

(3) 已知i是虚数单位，则的实部为　－　.

解析：由题意得＝＝－－i，所以该复数的实部为－.

　自测反馈　

1.  若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则z的虚部为　3　.

解析：因为z＝i(3－2i)＝2＋3i，所以复数z的虚部为3.

2.  已知复数z满足iz＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝　2　.

解析：由题意得z＝＝－i，所以|z|＝＝2.

3.  若复数(m∈R，i是虚数单位)为实数，则m＝　－2　.

解析：由题意得＝＝＋i.因为复数是实数，所以＝0，解得m＝－2，故m的值为－2.

4.  设＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝　1　.

解析：由题意得＝＝2－i＝a＋bi，所以a＝2，b＝－1，所以a＋b＝1.

1. 复数加减法的法则可以类比多项式合并同类项法则来理解和记忆.

2. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)为实数的充要条件是b＝0；它为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.

3. 你还有哪些体悟，写下来：