2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第15讲《导数与函数的极值、最值》(含解析)

课时作业(十五)　第15讲　导数与函数的极值、最值

时间 / 45分钟　分值 / 100分　　　　　　

基础热身

1.设函数f(x)=ln x+,则 (　　)

A.x=1为f(x)的极大值点

B.x=1为f(x)的极小值点

C.x=e为f(x)的极大值点

D.x=e为f(x)的极小值点

2.当函数y=x·3x取得极小值时,x= (　　)

A.

B.-

C.ln 3

D.-ln 3

3.当x∈[-1,2]时,函数f(x)=ex-x的最小值为 (　　)

A.1 B.-1

C.0 D.-e

4.函数f(x)=2xsin x在区间上的最大值是 (　　)

A. B.

C.π D.

5.[2018·银川一中月考] 函数f(x)=x3-3x的极小值点为　　　　. 

能力提升

6.若函数f(x)=x3-x+m的极大值为1,则函数f(x)的极小值为 (　　)

A.- B.-1

C. D.1

7.若函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和,则 (　　)

A.a-2b=0

B.2a-b=0

C.2a+b=0

D.a+2b=0

8.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若函数f(x)仅在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图像可能是              (　　)

ABCD

9.已知x=x0是函数f(x)=ex-ln x的极值点,若a∈(0,x0),b∈(x0,+∞),则 (　　)

A.f'(a)<0,f'(b)>0

B.f'(a)>0,f'(b)<0

C.f'(a)>0,f'(b)>0

D.f'(a)<0,f'(b)<0

10.[2018·深圳中学月考] 已知函数f(x)=ex(x2-x+1)-m,若函数f(x)有三个不同的零点,则实数m的取值范围是              (　　)

A.(-∞,1)

B.(1,e3)

C.

D.(-∞,1)∪(e3,+∞)

11.若x=1是函数f(x)=(ex+a)ln x的极值点,则实数a=　　　　. 

12.[2018·咸阳三模] 已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图K15-2所示,则=　　　　. 

13.[2018·天津一中月考] 若函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是　　　　. 

14.(12分)已知函数f(x)=(x-k)ex.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.

15.(13分)[2018·乌鲁木齐二模] 已知函数f(x)=ex+ax+1(a∈R),x=0是f(x)的极值点.

(1)求a,并求f(x)在[-2,1]上的最小值;

(2)若不等式kf'(x)<xex+1对任意x>0都成立,其中k为整数,f'(x)为f(x)的导函数,求k的最大值.

难点突破

16.(5分)[2018·广西梧州二模] 设函数f(x)=-x3+3bx,当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1],则b的值是              (　　)

A. B.

C. D.

17.(5分)[2018·昆明二模] 已知函数f(x)=+k(ln x-x),若x=1是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是              (　　)

A.(-∞,e] B.(-∞,e)

C.(-e,+∞) D.[-e,+∞)

课时作业(十五)

1.B　[解析] f'(x)=-=,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以x=1为f(x)的极小值点.故选B.

2.B　[解析] 由y=x·3x,得y'=3x+x·3xln 3=3x(1+xln 3),令y'=0,得x=-.当x∈时,y'<0,当x∈时,y'>0,所以当x=-时,函数y=x·3x取得极小值.故选B.

3.A　[解析] f'(x)=ex-1,当x∈[-1,0)时,f'(x)<0,当x∈(0,2]时,f'(x)>0,所以当x=0时,f(x)取得极小值,也是最小值,最小值为f(0)=e0-0=1.故选A.

4.C　[解析] f'(x)=2(sin x+xcos x),当x∈时,f'(x)>0,所以f(x)在区间上单调递增,所以所求最大值为f=2××sin=π.故选C.

5.x=1　[解析] 因为f(x)=x3-3x,所以f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0得x=±1,令f'(x)>0可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),令f'(x)<0可得函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),所以f(x)在x=1处取得极小值,即函数f(x)=x3-3x的极小值点为x=1.

6.A　[解析] f'(x)=x2-1,由f'(x)=0,得x=1或x=-1,所以f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=-1处取得极大值,则f(-1)=1,得m=,函数f(x)在x=1处取得极小值,且f(1)=×13-1+=-.故选A.

7.D　[解析] y'=3ax2+2bx,根据题意,知0和是方程3ax2+2bx=0的两根,所以-=,所以a+2b=0.故选D.

8.C　[解析] 由f(x)仅在x=-2处取得极小值可知,当x<-2时,f'(x)<0,则xf'(x)>0;当-2<x<0时,f'(x)>0,则xf'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0,则xf'(x)>0.故选C.

9.A　[解析] f'(x)=ex-,易知f'(x)在(0,+∞)上是增函数,因此f'(x)只有一个零点x0,从而当a∈(0,x0)时,f'(a)<0,当b∈(x0,+∞)时,f'(b)>0.故选A.

10.C　[解析] 令g(x)=ex(x2-x+1),则g'(x)=ex(x2+x)=x(x+1)ex,所以当x<-1或x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当-1<x<0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.所以当x=-1时,g(x)取得极大值,极大值为g(-1)=,当x=0时,g(x)取得极小值,极小值为g(0)=1,且当x→-∞时,g(x)→0,当x→+∞时,g(x)→+∞.因为函数f(x)有三个不同的零点,所以直线y=m与函数g(x)的图像有三个交点,所以g(0)<m<g(-1),即1<m<,故选C.

11.-e　[解析] 因为f'(x)=exln x+(ex+a),且x=1是函数f(x)=(ex+a)ln x的极值点,所以f'(1)=e+a=0,解得a=-e.

12.1　[解析] f'(x)=3ax2+2bx+c,则由图知即得3a+2b=0,c=-6a,显然a≠0,所以c≠0,所以===1.

13.　[解析] 因为函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,所以函数f(x)的导函数f'(x)=3x2-6b在(0,1)内有零点,且即所以0<b<.

14.解:(1)f'(x)=(x-k+1)ex.

令f'(x)=0,得x=k-1.

f(x)与f'(x)随x的变化情况如下表:

所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).

(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;

当0<k-1<1,即1<k<2时,

函数f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;

当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.

15.解:(1)f'(x)=ex+a,由x=0是f(x)的极值点,得f'(0)=0,所以a=-1.

易知f(x)在[-2,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,

所以当x=0时,f(x)在[-2,1]上取得最小值2.

(2)由(1)知a=-1,此时f'(x)=ex-1,

所以kf'(x)<xex+1,即k(ex-1)<xex+1,

当x>0时,ex-1>0,所以k<.

令g(x)=(x>0),所以k<g(x)min,

g'(x)=(x>0),

令h(x)=ex-x-2(x>0),则h'(x)=ex-1>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,

又h(1)<0,h(2)>0,所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0,即g'(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)min=g(x0)=+x0,

由g'(x0)=0得=x0+2,所以g(x0)=x0+1∈(2,3),

又因为k<g(x0)且k∈Z,所以k的最大值为2.

16.C　[解析] f'(x)=-3x2+3b,若b≤0,则f'(x)≤0,则f(x)在[0,1]上是减函数,当x∈[0,1]时,f(x)≤f(0)=0,不符合题意.若b>0,则当-<x<时,f'(x)>0;当x>或x<-时,f'(x)<0.所以f(x)在(-,)上是增函数,在(,+∞),(-∞,-)上是减函数.当≥1时,由题知f(1)=-1+3b=1,得b=<1,与≥1矛盾,故舍去;当0<<1时,由题知f()=1,即-()3+3()3=1,所以b=.故选C.

17.A　[解析] 由函数f(x)=+k(ln x-x),可得f'(x)=+k=,因为x=1是函数f(x)的唯一极值点,所以当x>0时,-k≥0恒成立或-k≤0恒成立.令g(x)=(x>0),则g'(x)=,由g'(x)>0得x>1,g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g'(x)<0得0<x<1,g(x)在(0,1)上单调递减,所以g(x)min=g(1)=e,无最大值,所以k≤e,即实数k的取值范围是(-∞,e],故选A.