专题6 导数及其应用-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（解析版）
展开专题6 导数及其应用
一、单选题
1．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的解集即为的解集
构造函数，则，
因为，所以
所以在上单调递增，且
所以的解集为，
不等式的解集为.
故选C.
2．函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
3．已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，，则，
则，
令，，
则，∴递增，
∴时，，
∴有唯一零点，
∴时，取最小值，
即取最小值，．
故选：C
4．已知，记函数在区间上的最大值和最小值分别为，，则（ ）
A．当时，； B．当时，；
C．当时，； D．当时，.
【答案】D
【解析】，
设，
又，.
①当时，在上单调递减，从而.；
②当时，即时；在上单调递增，从而，；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，从而；
.
由此选项A和B都不一定恒正确，排除掉A和B选项.
对于选项C：当时，则只能为情形①或情形③，对于情形①，则成立；对于情形③，则，的大小无法确定，故选项C错误.
对于选项D：当时，则只能为情形①或情形③，对于情形①，则成立；对于情形③，由于，因此，从而，因此正确.
故选：D.
5．已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，因为，所以，
即在上单调递增，故在上恒成立，
即，令.
则，max，即的取值范围为.
故选A.
6．已知函数且则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，
是偶函数，
且当时，，
在区间上，函数单调递增，
，
原不等式等价于，
即，即，
解得：，即不等式的解集是.
故选：C
7．已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
函数为偶函数，
由
则，
当时， 令，则，
所以在为增函数，，
所以，即，
所以函数在为增函数，
又因为函数在定义域内为偶函数，
则在为减函数，
由，
则，
所以，化简可得，
所以.
故选：A
8．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
定义域为的函数满足，
，函数在上单调递增，
当时，由，知，
当时，显然不等式成立.
当时，则，所以，
整理得，即，
所以，，得，则；
当时，则，所以，
整理得，即，
所以，，得，则.
综上所述，原不等式的解集为.
故选：D．
9．已知是函数的极大值点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，，
当时，时，，单调递减，而，
时，，，
且，，
即在上单调递增，
时，，，
且，，
即在上单调递减，
是函数的极大值点，满足题意.
当时，存在使得，即，，
又在上单调递减，
时，，，
这与是函数的极大值点矛盾，综上所述a的取值范围是.
故选：B
10．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，函数的图象关于点对称，
故的图像关于原点对称，
故是奇函数，
由函数对于任意的满足，
令，
故，
所以函数在上单调递减，
由，
则为偶函数，
所以
即，
即，
故选：B
二、填空题
11．已知，若满足的有四个，则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】满足的有个，方程有4个根，
设，则，令，得.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，，
画出函数的大致图象，如图所示：
，
保留函数的轴上方的图象，把轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，
即可得到函数的图象如下图所示：
令，则，
所以要使方程有个根，
则方程应有两个不等的实根，又由于两根之积为1，所以一个根在内，一个根在内，
设，因为，则只需，解得：，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
12．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】令得，设函数，
则直线与函数在区间上的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：
极大值 |
，，如下图所示：
由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
13．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在、两点处的切线互相平行，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】，，
由题意可得，即，
，化简可得，即，
而，，则，
当时，由基本不等式可得，当且仅当等号成立，
所以，，因此，的取值范围为.
故答案为：.
14．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当 时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】令，
则
当 时， 单调递增，且 .
因为等价于，即g(x)<g()，
又为偶函数，所以，
故，故不等式的解集为 .
三、解答题
15．已知函数．
（1）若函数在定义域上的最大值为，求实数的值；
（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，函数的定义域为，，
当时，，函数在区间上单调递增，
此时，函数在定义域上无最大值；
当时，令，得，
由，得，由，得，
此时，函数的单调递增区间为，单调减区间为．
所以函数，
即为所求；
（2）由，因为对任意的恒成立，
即，当时，对任意的恒成立，
，，，
只需对任意的恒成立即可．
构造函数，，
，，且单调递增，
，，一定存在唯一的，使得，
即，，
且当时，，即；当时，，即.
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
因此，的最小整数值为.
16．已知函数．
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若直线与函数的图象有两个不同的交点和，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，
其导函数为，
若函数在区间上单调递增，则当时，恒成立，即恒成立，所以．
（2）不存在直线使得．
理由：假设存在，
由题意可知，，，
，
．
因为，即，
所以，即，
令，则上式化为
构造，
则，
显然，在和上都单调递增，
又因为，所以方程无解．
综上，不存在直线使得
17．已知函数.
（1）证明：当时，；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）令，则，当时，，
故在上单调递增，所以，
即，所以.
（2）由已知，，
依题意，有3个零点，即有3个根，显然0不是其根，所以
有3个根，令，则，当时，，当
时，，当时，，故在单调递减，在，上
单调递增，作出的图象，易得.
故实数的取值范围为.
18．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若函数的图象与函数的图象交于，两点，且（为自然对数的底数），求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）依题意，，.
①若，则，故在上单调递增
②若，令，解得.
则当时，，单调递增，当时，，单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则由题意可知有两个大于的实数根，
令，则有两个大于的零点
.
因为，则当，时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又当时，
所以，要使函数在有两个零点，当且仅当：
解得；
综上所述，实数的取值范围是.
19．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”．
（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；
（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；
（3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”．
【答案】（1）是“函数”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）函数是“函数”，理由如下：
因为，则，
当时，；当时，，
所以函数的极大值，故函数是“函数”；
（2）函数的定义域为，.
当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意；
当时，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数的极大值为，
易知，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3） ，因为，，则，
所以有两个不等实根，设为、，
因为，所以，，不妨设，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减.
所以函数的极大值为，
由得，
因为，，
所以
．
所以函数是“函数”．
20．某温泉度假村拟以泉眼为圆心建造一个半径为米的圆形温泉池，如图所示，、是圆上关于直径对称的两点，以为圆心，为半径的圆与圆的弦、分别交于点、，其中四边形为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设．
（1）当时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；
（2）当池内休息区的总面积最大时，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）在中，因为，，所以，，
所以池内休息区总面积；
（2）在中，因为，，
所以，，
，由，得，
则池内休息区总面积，；
设，，
因为，
又，所以，使得，
则当时，在上单调增，
当时，在上单调递减，
即是极大值，也是最大值，所以，此时．
21．已知函数.
（1）求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数.
①若，求证：为在上的上界函数；
②若，为在上的下界函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②.
【解析】（1）因为，所以，
所以函数的图象在处的切线斜率.
又因为，所以函数的图象在处的切线方程为；
（2）①由题意得函数的定义域为.
令，得.
所以当时，；当时，.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为，所以，
故当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
从而，所以，即，
所以函数为在上的上界函数；
②因为函数为在上的下界函数，
所以，即.
因为，所以，故.
令，，则.
设，，则，
所以当时，，从而函数在上单调递增，
所以，
故在上恒成立，所以函数在上单调递增，
从而.
因为在上恒成立，所以在上恒成立，
故，即实数的取值范围为.
