2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：7.6　空间直角坐标系、空间向量及其运算

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第六节　空间直角坐标系、空间向量及其运算

知识体系

空间向量的运算—空间向量—空间直角坐标系

必备知识

1.空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系

(2)空间一点M的坐标

①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标;

②建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组(x,y,z)可建立一一对应的关系.

2.空间两点间的距离公式、中点公式

(1)距离公式:

①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

则=;

②设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为

=.

(2)中点公式:设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则

3.空间向量的有关概念

4.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb.

(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.

(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}叫做空间的一个基底.

(4)三点共线的条件

对空间任一点O,若=x+y(x+y=1),则P,A,B三点共线.

(5)四点共面的条件

对空间任一点O,若=x+y+z(x+y+z=1),则P,A,B,C四点共面.

5.空间向量的数量积及坐标运算

续表

1.易错点:混淆“向量共面”与“直线共面”

向量共面时,表示向量的有向线段可以平行、相交,也可以异面,但它们都平行于同一个平面,而直线共面时,两直线不能是异面直线.

2.注意点:共线向量定理中的易忽视点

共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb,易忽视b≠0.

基础小题

1.(教材改编)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设=a,

=b,=c,则下列向量中与相等的向量是 (　　)

A.-a+b+c

B.a+b+c

C.-a-b-c

D.-a-b+c

【解析】选C.=+

=--=--(+)

=---=-a-b-c.

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:

①(-)-;

②(+)-;

③(-)-2;

④(+)+.

其中能够化简为向量的是 (　　)

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

【解析】选A.如图,①中,(-)-=-=成立;

②中,+-=+=,成立;

③中,(-)-2=-2=(-)-=-,不成立;

④中,(+)+=++=+=+=,不成立,故①②成立.

3.O为空间任意一点,若=++,则A,B,C,P四点 (　　)

A.一定不共面 B.一定共面

C.不一定共面 D.无法判断

【解析】选B.因为=++,且++=1.所以P,A,B,C四点共面.

4.(2020·玉林模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于              (　　)

A. B.9 C. D.

【解析】选D.由题意知存在实数x,y使得c=xa+yb,

即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),

由此得方程组

解得x=,y=,所以λ=-=.

5.设向量a=(-1,-1,1),b=(-1,0,1),则cos<a,b>= (　　)

A.  B. C. D.

【解析】选D.因为向量a=(-1,-1,1),b=(-1,0,1),

所以cos<a,b>===.

6.(教材改编)已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,λ),若⊥,则λ的值为________. 

【解析】因为=(2,-5,1)-(4,1,3)=(-2,-6,-2),

=(3,7,λ)-(4,1,3)=(-1,6,λ-3),

因为⊥.所以·=-2×(-1)-6×6-2(λ-3)=0,解得λ=-14.

答案:-14

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