2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第9节函数模型及其应用

第九节　函数模型及其应用[考纲传真]　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较　　      函数性质　y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性增加的增加的增加的增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax3.解函数应用题的步骤　形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)内递增，在[－，0]和(0，]上递减．(2)当x＞0时，x＝时取最小值2，当x＜0时，x＝－时取最大值－2.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图像有且只有两个公共点． (　　)(2)幂函数增长比直线增长更快． (　　)(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.  (　　)(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表，则x，y最适合的函数是(　　)x0.500.992.013.98y－0.990.010.982.00A.y＝2x　　　　　　 B．y＝x2－1C．y＝2x－2   D．y＝log2 xD　[当x＝0.50时，y＝－0.99，从而排除选项A、C，又当x＝2.01时，y＝0.98，从而排除选项B，故选D．]3．(教材改编)一个工厂生产一种产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系是y＝0.1x2＋10x＋300(0＜x≤240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是(　　)A．70台    B．75台C．80台    D．85台B　[由题意可知，利润f(x)＝25x－y＝－0.1x2＋15x－300，(0＜x≤240，x∈N)∴当x＝75时，f(x)取到最大，故选 B．]4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)A．减少7.84%　　　　　  B．增加7.84%C．减少9.5%    D．不增不减A　[设某商品原来价格为a，四年后价格为：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．y＝　[由题意可知，当0＜x≤100时，y＝0.5x.当x＞100时，y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝0.4x＋10.∴y＝]用函数图像刻画变化过程1.如图，在不规则图形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把图形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分面积为y，则y关于x的大致图像为(　　)A　　　　　B　　　　C　　　　DD　[因为左侧部分面积为y，随x的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D选项适合．]2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)　 　          A　　　　   B　　　　C　　　　DB　[因为运输效率逐步提高，故曲线上每点处的切线斜率应该逐渐增大，故选B．]3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D　[根据图像知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．][规律方法]　判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法1构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像.2验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.应用所给函数模型解决实际问题【例1】　小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解]　(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0＜x＜8时，L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3；当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.所以L(x)＝(2)当0＜x＜8时，L(x)＝－(x－6)2＋9.此时，当x＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9万元，当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15，此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．[规律方法]　求解所给函数模型解决实际问题的关注点1认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.3利用该模型求解实际问题.易错警示：1解决实际问题时要注意自变量的取值范围.2利用模型fx＝ax＋\f(b,x)求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件. (1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)A．3.50分钟　　　　　　  B．3.75分钟C．4.00分钟    D．4.25分钟(2)(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．(1)B　(2)16　[(1)根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．(2)当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－b t＝a，e－b t＝＝(e－8 b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min.]构建函数模型解决实际问题【例2】　某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？[解]　(1)当x≤6时，y＝50x－115.令50x－115＞0，解得x＞2.3.∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0.又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)，故y＝(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，显然当x＝6时，ymax＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－32＋(6＜x≤20，x∈N*)，当x＝11时，ymax＝270.又∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．[规律方法]　构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f(x)＝x＋(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制． (2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)A．2018年    B．2019年C．2020年    D．2021年B　[设2015年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n>200，得1.12n>，两边取常用对数，得n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．]函数模型的选择【例3】　(2019·沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均为常数且q＞1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推x∈[0,5])(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝，经过多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？[解]　(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先递增后一直递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，故应该选择②f(x)＝px2＋qx＋7.(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7.g(x)＝＝－＝－.因为－≤－2，当且仅当x＋1＝3，即x＝2时等号成立．所以明年拓展外销的时间应为6月1号．[规律方法]　根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：1若能够根据实际问题作出满足题意的函数图像，可结合图像特征选择.2当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋ca，b，c均为常数，a＜0；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y＝ax2＋bx＋ca，b，c均为常数，a＞0.3对数函数底数大于1时增长越来越慢，而指数函数底数大于1时增长越来越快. 某商场2018年1月份到12月份销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确地反映商场月销售额f(x)与月份x的关系且满足f(1)＝8，f(3)＝2的函数为(　　)A．f(x)＝20×xB．f(x)＝－6log3 x＋8C．f(x)＝x2－12x＋19D．f(x)＝x2－7x＋14D　[把f(1)＝8，f(3)＝2逐一代入四个选项中，并结合f(x)与x间呈先下降后上升的趋势，不难选出选项D符合．]