2020高考数学文科大一轮复习导学案：第十章概率10.2

知识点一　　　　古典概型

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

1．判断正误

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　×　)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(　×　)

(3)从市场上出售的标准为500±5 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．(　×　)

2．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有(　C　)

A．(男，女)，(男，男)，(女，女)

B．(男，女)，(女，男)

C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)

D．(男，男)，(女，女)

解析：由于两个孩子出生有先后之分，所以基本事件有四种情况．

知识点二　　　　古典概型的概率公式

P(A)＝

3．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　D　)

A．0.6  B．0.5

C．0.4  D．0.3

解析：将2名男同学分别记为x，y,3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.故选D.

4．一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是(　D　)

A.  B.

C.  D.

解析：从盒中标号为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4种，故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是＝.

1．古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法．

2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

考向一　　　　基本事件与古典概型

【例1】　袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．

(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？

【解】　(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．

又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．

(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，

故一次摸球摸到白球的可能性为，

同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，

显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.

有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；

(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件．

解：(1)这个试验的基本事件为

(1,1)(1,2)(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,2)(2,3)，(2,4)，(3,1)(3,2)(3,3)，(3,4)，(4,1)(4,2)(4,3)，(4,4)．

(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．

考向二　　　　古典概型的求法

方向1　求古典概型

【例2】　(1)某同学从4门选修课甲、乙、丙、丁中任选2门，其中选修课甲被选中的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

(2)在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(　　)

A.  B.

C.  D.

【解析】　(1)任选2门：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6种选法，其中甲被选中的有甲乙，甲丙，甲丁共3种选法，所以所求概率P＝＝.

(2)从袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字之和为3的事件为(1,2)，取出小球标注数字之和为6的事件为(1,5)，(2,4)，所以取出的小球标注的数字之和为3或6的概率P＝＝.

【答案】　(1)D　(2)A

在本例(2)中，求标注的数字都不小于2的概率．

解：从袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，其中两个数字都不小于2的有(2,3)，(2,4)，(2,5)(3,4)，(3,5)，(4,5)共6种，故所求的概率为P＝＝.

方向2　古典概型与平面向量、解析几何的交汇

【例3】　(1)设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

(2)(2019·湘中名校联考)从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1,1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)

A.  B.

C.  D.

【解析】　(1)有序数对(m，n)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以所求的概率P(A)＝＝.

(2)从集合A，B中随机选取后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a>0，b>0，共有2种满足，所以所求概率P＝，故选A.

【答案】　(1)A　(2)A

方向3　古典概型与统计的交汇

【例4】　(2019·安徽淮北一模)为了解某知名品牌两个不同型号手机M9，M10的待机时间(单位：小时)，淮北某手机卖场从仓库中随机抽取M9，M10两种型号的手机各6台，在相同的条件下进行测试，统计结果如图：

(1)根据茎叶图计算M9，M10两种型号手机的平均待机时间；

(2)根据茎叶图判断M9，M10两种型号被测试手机待机时间方差的大小，并说明理由；

(3)从待机时间在75小时以上的6台被测试手机中随机抽取2台，求至少有一台手机是M9的概率．

【解】　(1)根据茎叶图中的数据，计算M9型号手机的平均待机时间为M9＝×(56＋69＋65＋70＋76＋84)＝70(小时)，

M10型号手机的平均待机时间为M10＝×(79＋72＋70＋80＋81＋80)＝77(小时)．

(2)M9手机待机时间方差大于M10手机待机时间方差．

理由：M9的数据分布比较分散，波动较大；M10的数据分布比较集中，波动较小．

(3)记M9待机时间在75小时以上的被测手机为A1，A2，

M10待机时间在75小时以上的被测手机为B1，B2，B3，B4，

从6台被测手机中任取2台有15种取法，其中不符合题意的取法有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共6种，

所以所求的概率P＝＝.

求解古典概型的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.

1．(方向1)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(　C　)

A.  B.

C.  D.

解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种结果，其中只有(3,4,5)一组勾股数，所以3个数构成一组勾股数的概率为.

2．(方向2)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在平面直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点在直线2x－y＝1上的概率为(　A　)

A.  B.

C.  D.

解析：先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，即(1,1)，(2,3)，(3,5)，所以所求概率为＝.

3．(方向3)某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．

下表是年龄的频数分布表.

(1)求正整数a，b，N的值；

(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？

(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

解：(1)由题干中的频率分布直方图可知，a＝25，且b＝25×＝100，总人数N＝＝250.

(2)因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150(人)，利用分层抽样在150人中抽取6人，每组抽取的人数分别为：

第1组的人数为6×＝1(人)，

第2组的人数为6×＝1(人)，

第3组的人数为6×＝4(人)，

所以第1,2,3组分别抽取1人、1人、4人．

(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)，共15种．

其中恰有1人在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共8种，所以恰有1人在第3组的概率为.