高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间:120分钟 满分:150分)


一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)


1.若角α的终边上有一点P(a,a)(a≠0),则sin α的值是( )


A.22B.-22C.1D.22或-22


2.若一工件是扇形,其圆心角的弧度数为2,且该扇形弧所对的弦长也是2,则这个工件的面积为( )


A.1sin21B.2sin22C.1cs21D.2cs22


3.要得到函数y=cs2x+π3的图象,只需将函数y=cs 2x的图象( )


A.向左平移π3个单位长度B.向左平移π6个单位长度


C.向右平移π6个单位长度D.向右平移π3个单位长度


4.已知角α的终边上有一点P(1,3),则sin(π-α)-sinπ2+α2cs(α-2π)的值为( )


A.1B.-45C.-1D.-4


5.已知α为第二象限角,sin α=35,则sinα-π6的值等于( )


A.4+3310B.4-3310C.33-410D.-4-3310


6.函数f(x)=3cs x-3sin x的图象的一条对称轴方程是( )


A.x=5π6B.x=2π3C.x=π3D.x=-π3


7.设sinπ4+θ=13,则sin 2θ等于( )


A.-19B.-79C.19D.79


8.函数y=12sin 2x+sin2x(x∈R)的值域是( )


A.-12,32B.-32,12


C.-22+12,22+12D.-22-12,22-12


9.如图,已知函数y=3·tan2x+π6的部分图象与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积等于( )





A.π4B.π2C.πD.2π


10.若函数f(x)=sin ωx+3cs ωx(ω>0)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,且g(x)=fx-π3,则ω的最小值等于( )


A.1B.2C.3D.4


11.在北京召开的国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sinθ+π2-csθ+π3=( )





A.4+3310B.4-3310C.-4+3310D.-4-3310


12.已知α,β∈0,π4,tanα21-tan2α2=14,且3sin β=sin(2α+β),则α+β的值为( )


A.π6B.π4C.π3D.5π12


二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)


13.已知csπ6-α=23,则sinα-2π3= .


14.设角α为钝角,且3sin 2α=cs α,则sin α= .


15.若方程3sin x+cs x=a在区间[0,2π]上恰有两个不同的实数解,则a的取值范围为 .


16.下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深:





若该港口的水深y(单位:m)和时刻t(0≤t≤24,单位:h)的关系可用函数y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为 m.


三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17.(本小题满分10分)已知点P(1,t)在角θ的终边上,且sin θ=-63.


(1)求t和cs θ的值;


(2)求sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)的值.




















18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x-π3+cs2x-π6+2cs2x-1.


(1)求函数f(x)的最小正周期;


(2)若α∈π4,π2,且f(α)=325,求cs 2α.


























19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:





(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式;


(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π3,当x∈0,π3时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.














20.(本小题满分12分)在函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中A>0,ω>0,00,|φ|0,-22,a0)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,且g(x)=fx-π3,则ω的最小值等于( )


A.1B.2C.3D.4


解析:由题意得f(x)=2sinωx+π3.


∵函数f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于点π3,0对称,


∴g(x)=-f2π3-x.又g(x)=fx-π3,


∴-f2π3-x=fx-π3,


即-2sin2ωπ3-ωx+π3=2sinωx-ωπ3+π3.


∴sin-2ωπ3+ωx-π3=sinωx-ωπ3+π3.


结合-2ωπ3+ωx-π3与ωx-ωπ3+π3的特征可得ωx-ωπ3+π3--2ωπ3+ωx-π3=2kπ,k∈Z.


∴ω+2=6k,k∈Z.


又ω>0,∴当k=1时,ω取得最小值4,故选D.


答案:D


11.在北京召开的国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为θ,那么sinθ+π2-csθ+π3=( )





A.4+3310B.4-3310C.-4+3310D.-4-3310


解析:设直角三角形中较小的直角边长为a,


则a2+(a+2)2=102.∴a=6.


∴sin θ=610=35,cs θ=810=45.


∴sinθ+π2-csθ+π3


=cs θ-12cs θ+32sin θ


=12cs θ+32sin θ


=12×45+32×35=4+3310,选A.


答案:A


12.已知α,β∈0,π4,tanα21-tan2α2=14,且3sin β=sin(2α+β),则α+β的值为( )


A.π6B.π4C.π3D.5π12


解析:由题意得tan α=tan2×α2=2tanα21-tan2α2=12.


∵α∈0,π4,∴cs α=25,sin α=15.


∵3sin β=sin(2α+β),


∴3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],


即3sin(α+β)cs α-3cs(α+β)sin α=sin(α+β)cs α+cs(α+β)sin α,


即sin(α+β)cs α=2cs(α+β)sin α.


∴2sin(α+β)5=2cs(α+β)5.∴tan(α+β)=1,


又00,h>0)来近似描述,则该港口在11:00的水深为 m.


解析:由题意得函数y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)的周期为T=12,且h+A=7,h-A=3,解得A=2,h=5,且ω=2π12=π6,故y=2sin π6t+5.


因此该港口在11:00的水深为y=2sin 116π+5=4(m).


答案:4


三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17.(本小题满分10分)已知点P(1,t)在角θ的终边上,且sin θ=-63.


(1)求t和cs θ的值;


(2)求sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)的值.


解:(1)因为r=|OP|=t2+1,


所以sin θ=tt2+1=-63,解得t=-2.


所以θ为第四象限角.所以cs θ=1-sin2θ=33.


(2)sinθ+sinθ-π22csπ2+θ-csθ+3sin(π-θ)cs(π+θ)=sinθ-csθ-2sinθ-csθ+3sin θ(-cs θ)=-1.


18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x-π3+cs2x-π6+2cs2x-1.


(1)求函数f(x)的最小正周期;


(2)若α∈π4,π2,且f(α)=325,求cs 2α.


解:(1)∵f(x)=12sin 2x-32cs 2x+32cs 2x+12sin 2x+cs 2x=sin 2x+cs 2x=2sin2x+π4,


∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.


(2)∵f(α)=325,∴2sin2α+π4=325.


∴sin2α+π4=35.


∵α∈π4,π2,∴3π4≤2α+π4≤5π4.


∴cs2α+π4=-45.


∴cs 2α=cs2α+π4-π4=cs2α+π4csπ4+sin2α+π4sinπ4=-45×22+35×22=-210.


19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的一系列对应值如下表:





(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式;


(2)根据(1)的结果,若函数y=f(kx)(k>0)的周期为2π3,当x∈0,π3时,方程f(kx)=m恰有两个不同的解,求实数m的取值范围.


解:(1)设f(x)的最小正周期为T,


则T=11π6--π6=2π.由T=2πω,得ω=1.


又B+A=3,B-A=-1,解得A=2,B=1.


令ω·5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z),


即5π6+φ=π2+2kπ(k∈Z).


解得φ=-π3+2kπ(k∈Z).


故f(x)=2sinx-π3+1.


(2)∵函数y=f(kx)=2sinkx-π3+1的周期为2π3,又k>0,∴k=3.令t=3x-π3.


∵x∈0,π3,∴t∈-π3,2π3.





如图,sin t=s在区间-π3,2π3上有两个不同的解,则s∈32,1.


∴方程f(kx)=m在x∈0,π3时恰好有两个不同的解,则m∈3+1,3,即实数m的取值范围是3+1,3.


20.(本小题满分12分)在函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R其中A>0,ω>0,00,|φ|203,即cs2π3t