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初中数学华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试学案
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这是一份初中数学华师大版九年级上册第24章 解直角三角形综合与测试学案，共13页。学案主要包含了知识脉络，典例分析，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、知识脉络：
二、典例分析：
例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的四个三角函数值．
【分析】求∠BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．
【解】 在Rt△ABC中，∵ ∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝10，∴sin∠BCD=sinA= eq \f(BC,AB) = eq \f(4,5) ,cs∠BCD=csA= eq \f(AC,AB) = eq \f(3,5) ,
tan∠BCD=tanA= eq \f(BC,AC) = eq \f(4,3) ,ct∠BCD=ctA= eq \f(AC,BC) = eq \f(3,4) ．
【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，应强调转化的思想，即本题中角的转换．
例2 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）
【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长．
【解】 过点A作AG⊥CD，垂足为点G，在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30°= eq \f(CG,AG) ，∴CG=6× eq \f(\r(3),3) =2 eq \r(3) ，∴CD=2 eq \r(3) +1.5,在Rt△CED中，sin60°= eq \f(CD,EC) ，∴EC= eq \f(CD,sin60°) ==4+ eq \r(3) ．
答：拉线CE的长为4+ eq \r(3) 米．
【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键，在复习过程中应加以引导和总结．
例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？
【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．
【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB= eq \f(1,0.5) =2，∴∠B=63.43°．
⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分别为E、F．由题意可知：ME＝NF＝5，∴ eq \f(ME,AE) ＝ eq \f(1,0.5) ，∴AE＝DF＝2.5，∵AD=4， ∴MN=EF=1.5，∴S梯形ADNM＝ eq \f(1,2) (1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．
【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝ eq \f(垂直高度,水平距离) ＝坡角的正切值．
例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.5299,cs32°≈0.8480,tan s32°≈0.6249,ct32°≈1.600）
【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB的长，只要去解Rt△ADC和Rt△BDC即可．
【解】过点C作CD⊥AB，垂足为D．由题知：∠=45°，∠=32°．在Rt△BDC中，sin32°= eq \f(BD,BC) ，∴BD＝100sin32°≈52.99．cs 32°= eq \f(CD,BC) ，∴CD=100 cs 32°≈84.80．在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80．
∴AB=AD+BD≈138米．
答：AB间距离约为138米．
【说明】本题中涉及到方位角的问题，画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．
例5 在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米．
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．
【分析】先要计算出OH和PH的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH比较即可．
【解】⑴100； ．⑵作OH⊥PQ于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）．∴城市O不会受到侵袭．
【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．
第24章测试题设计
一、选择题：
1、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A．8米 B．米 C．米 D．米
2、如图，中边上的高为，中边上的高为，下列结论正确的是（ ）
A．B． C． D．无法确定
3、已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是
A． B． C． D．
4、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
A．a B． C． D．
5、已知α为锐角，则m=sinα+csα的值（ ）
A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≥1
6、如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（ ）．
A、或 B、 C、 D、或
7、已知α为锐角，且cs（90°－α）＝，则α的度数为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．75°
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AM是BC边上的中线，，则的值为( )．
A、 B、 C、 D、
9、在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，那么BC的长等于（ ）
A、4 B、4+3 C、4－3 D、4+3或4－3
10、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（）m B．（）m C． m D．4m
二、填空题：
11、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点．C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cs52°≈0.62，tan52°≈1.28)
12、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．
13、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 ．
14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为_________.
15、如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为 .
16、如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长13米，且，则河堤的高为 米．
17、如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝ 米（用根号表示）．
18、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为 .
19、如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，则CD∶DB= .
20、若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．
三、解答题：
21、计算：（1）； （2）；
22、一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少？（，结果保留整数）
23、某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.（1）求牧民区到公路的最短距离CD.（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由.（结果精确到0.1，参考数据：取1.73，取1.41）
24、如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）
25、某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm？（结果精确到0.1cm）
26、路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路里面的中心线（D在中心线上），已知C点与D点之间的距离为12米，求灯柱BC的高（结果保留根号）
27、如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为→→→．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为→→→．已知，，，，米，米，，．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）
温馨提示：．
28、如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离.（结果保留根号，参考数据：(，，，）.
参考答案：
一、选择题：
1、C
2、C
3、A
4、C
5、A
6、D
7、B
8、A
9、D
10、A
二、填空题：
11、3.5
12、
13、
14、1:2
15、
16、12
17、
18、
19、1∶2
20、或
三、解答题：
21、（1）；（2）2.5
22、解: 连结AC，与BD相交于点O， 四边形ABCD是菱形，ACBD,ADB=CDB,AC=2AO ， 当ADC=时，△ADC是等边三角形，AC=AD=AB=40 .
当ADC=时，ADO=，AO=ADsinADO=40×=20，AC=40 ，因此增加的高度为4040=400.73229（cm）
23、解：（1）设CD为x千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，∴AD=CD=x.在Rt△BCD中，tan30°=，所以BD=x.
∵AD＋DB=AB=40，∴x＋x=40.解得 x≈14.7，所以，牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米.
（2）设汽车在草地上行驶的速度为v，则在公路上行驶的速度为3v，在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴AC=CD，
方案I用的时间t1=；方案II用的时间t2=； 所以t1－t2==.因为3－4>0，所以t1－t2>0.所以方案I用的时间少，方案I比较合理.
24、解：(1) 在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，则BQ=ct30°×PQ＝,又在Rt△APQ中，∠PAB=45°，则AQ=ct45°×PQ=10， 即：AB=(+10)(米)；
(2) 过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=+10，∴ AE=sin30°×AB=（+10）=5+5，∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴ ∠C=45°，在Rt△CAE中，sin45°＝，∴AC=（5+5）=(5+5)(米)
25、解：连接AC，BD ， ∵OA=OB=OC=OB ，∴四边形ACBD为矩形
∵∠DOB=100º, ∴∠ABC=50º，由已知得AC=32，在Rt△ABC中，sin∠ABC=，∴AB==≈41.8（cm），tan∠ABC=，∴BC==≈26.9（cm），∴AD=BC =26.9 （cm）
答：椅腿AB的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm.
26、解：设灯柱BC的长为h米，过点A作AD⊥CD于点H，过B作BE⊥AH于点E，∴四边形BCHE为矩形，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝30°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＝60°，在Rt△AEB中，∴AE＝ABsin30°＝1，BE＝ABcs30°＝，∴CH＝，又CD＝12，∴DH＝12－，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝＝，解得，h＝12－4（米），∴灯柱BC的高为（12－4）米．
27、解：在中，，
四边形为平行四边形．．
在中，，，，，，
增加的路程=（米）．
28、解：由题意可知，AD＝(40＋10)×30＝1500（米）过点D作DH⊥BA，交BA延长线于点H.
在Rt△DAH中，DH＝AD·sin60°＝1500×＝750（米）.AH＝AD·cs60°＝1500×＝750（米）.
在Rt△DBH中，BH＝DH·cs15°＝750×(2＋)＝（1500＋2250）（米），∴BA＝BH－AH＝1500＋2250－750＝1500（＋1）（米）.答：热气球升空点A与着火点B的距离为1500（＋1）（米）
一、知识脉络：
二、典例分析：
例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的四个三角函数值．
【分析】求∠BCD的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD是在Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD和CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．
【解】 在Rt△ABC中，∵ ∠ACB＝90°∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝10，∴sin∠BCD=sinA= eq \f(BC,AB) = eq \f(4,5) ,cs∠BCD=csA= eq \f(AC,AB) = eq \f(3,5) ,
tan∠BCD=tanA= eq \f(BC,AC) = eq \f(4,3) ,ct∠BCD=ctA= eq \f(AC,BC) = eq \f(3,4) ．
【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，应强调转化的思想，即本题中角的转换．
例2 如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）
【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长．
【解】 过点A作AG⊥CD，垂足为点G，在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30°= eq \f(CG,AG) ，∴CG=6× eq \f(\r(3),3) =2 eq \r(3) ，∴CD=2 eq \r(3) +1.5,在Rt△CED中，sin60°= eq \f(CD,EC) ，∴EC= eq \f(CD,sin60°) ==4+ eq \r(3) ．
答：拉线CE的长为4+ eq \r(3) 米．
【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键，在复习过程中应加以引导和总结．
例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？
【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．
【解】 ⑴∵i=tanB,即tanB= eq \f(1,0.5) =2，∴∠B=63.43°．
⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分别为E、F．由题意可知：ME＝NF＝5，∴ eq \f(ME,AE) ＝ eq \f(1,0.5) ，∴AE＝DF＝2.5，∵AD=4， ∴MN=EF=1.5，∴S梯形ADNM＝ eq \f(1,2) (1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．
【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝ eq \f(垂直高度,水平距离) ＝坡角的正切值．
例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A,其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.5299,cs32°≈0.8480,tan s32°≈0.6249,ct32°≈1.600）
【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB的长，只要去解Rt△ADC和Rt△BDC即可．
【解】过点C作CD⊥AB，垂足为D．由题知：∠=45°，∠=32°．在Rt△BDC中，sin32°= eq \f(BD,BC) ，∴BD＝100sin32°≈52.99．cs 32°= eq \f(CD,BC) ，∴CD=100 cs 32°≈84.80．在Rt△ADC中，∵∠ACD=45°，∴AD=DC=84.80．
∴AB=AD+BD≈138米．
答：AB间距离约为138米．
【说明】本题中涉及到方位角的问题，画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．
例5 在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．
(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米．
(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据，)．
【分析】先要计算出OH和PH的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH比较即可．
【解】⑴100； ．⑵作OH⊥PQ于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）．∴城市O不会受到侵袭．
【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形,利用三角函数知识来解决．
第24章测试题设计
一、选择题：
1、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
A．8米 B．米 C．米 D．米
2、如图，中边上的高为，中边上的高为，下列结论正确的是（ ）
A．B． C． D．无法确定
3、已知在中，，设，当是最小的内角时，的取值范围是
A． B． C． D．
4、如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）( )
A．a B． C． D．
5、已知α为锐角，则m=sinα+csα的值（ ）
A．m＞1B．m=1C．m＜1D．m≥1
6、如果方程的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（ ）．
A、或 B、 C、 D、或
7、已知α为锐角，且cs（90°－α）＝，则α的度数为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．75°
8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AM是BC边上的中线，，则的值为( )．
A、 B、 C、 D、
9、在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，那么BC的长等于（ ）
A、4 B、4+3 C、4－3 D、4+3或4－3
10、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（）m B．（）m C． m D．4m
二、填空题：
11、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点．C点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cs52°≈0.62，tan52°≈1.28)
12、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m．
13、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，则tanA的值为 ．
14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个坡面的坡度为_________.
15、如图，是一张宽的矩形台球桌，一球从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点. 如果，.那么点与点的距离为 .
16、如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长13米，且，则河堤的高为 米．
17、如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC＝ 米（用根号表示）．
18、水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为 .
19、如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，则CD∶DB= .
20、若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．
三、解答题：
21、计算：（1）； （2）；
22、一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当从变为时，千斤顶升高了多少？（，结果保留整数）
23、某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.（1）求牧民区到公路的最短距离CD.（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由.（结果精确到0.1，参考数据：取1.73，取1.41）
24、如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；
（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）
25、某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm，∠DOB＝100°，那么椅腿的长AB和篷布面的宽AD各应设计为多少cm？（结果精确到0.1cm）
26、路边的路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路里面的中心线（D在中心线上），已知C点与D点之间的距离为12米，求灯柱BC的高（结果保留根号）
27、如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为→→→．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为→→→．已知，，，，米，米，，．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）
温馨提示：．
28、如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15°，求热气球升空点A与着火点B的距离.（结果保留根号，参考数据：(，，，）.
参考答案：
一、选择题：
1、C
2、C
3、A
4、C
5、A
6、D
7、B
8、A
9、D
10、A
二、填空题：
11、3.5
12、
13、
14、1:2
15、
16、12
17、
18、
19、1∶2
20、或
三、解答题：
21、（1）；（2）2.5
22、解: 连结AC，与BD相交于点O， 四边形ABCD是菱形，ACBD,ADB=CDB,AC=2AO ， 当ADC=时，△ADC是等边三角形，AC=AD=AB=40 .
当ADC=时，ADO=，AO=ADsinADO=40×=20，AC=40 ，因此增加的高度为4040=400.73229（cm）
23、解：（1）设CD为x千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，∴AD=CD=x.在Rt△BCD中，tan30°=，所以BD=x.
∵AD＋DB=AB=40，∴x＋x=40.解得 x≈14.7，所以，牧民区到公路的最短距离CD为14.7千米.
（2）设汽车在草地上行驶的速度为v，则在公路上行驶的速度为3v，在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∴AC=CD，
方案I用的时间t1=；方案II用的时间t2=； 所以t1－t2==.因为3－4>0，所以t1－t2>0.所以方案I用的时间少，方案I比较合理.
24、解：(1) 在Rt△BPQ中，PQ=10米，∠B=30°，则BQ=ct30°×PQ＝,又在Rt△APQ中，∠PAB=45°，则AQ=ct45°×PQ=10， 即：AB=(+10)(米)；
(2) 过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠B=30°，AB=+10，∴ AE=sin30°×AB=（+10）=5+5，∵∠CAD=75°，∠B=30°，∴ ∠C=45°，在Rt△CAE中，sin45°＝，∴AC=（5+5）=(5+5)(米)
25、解：连接AC，BD ， ∵OA=OB=OC=OB ，∴四边形ACBD为矩形
∵∠DOB=100º, ∴∠ABC=50º，由已知得AC=32，在Rt△ABC中，sin∠ABC=，∴AB==≈41.8（cm），tan∠ABC=，∴BC==≈26.9（cm），∴AD=BC =26.9 （cm）
答：椅腿AB的长为41.8cm,篷布面的宽AD为26.9cm.
26、解：设灯柱BC的长为h米，过点A作AD⊥CD于点H，过B作BE⊥AH于点E，∴四边形BCHE为矩形，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝30°，又∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＝60°，在Rt△AEB中，∴AE＝ABsin30°＝1，BE＝ABcs30°＝，∴CH＝，又CD＝12，∴DH＝12－，在Rt△AHD中，tan∠ADH＝＝，解得，h＝12－4（米），∴灯柱BC的高为（12－4）米．
27、解：在中，，
四边形为平行四边形．．
在中，，，，，，
增加的路程=（米）．
28、解：由题意可知，AD＝(40＋10)×30＝1500（米）过点D作DH⊥BA，交BA延长线于点H.
在Rt△DAH中，DH＝AD·sin60°＝1500×＝750（米）.AH＝AD·cs60°＝1500×＝750（米）.
在Rt△DBH中，BH＝DH·cs15°＝750×(2＋)＝（1500＋2250）（米），∴BA＝BH－AH＝1500＋2250－750＝1500（＋1）（米）.答：热气球升空点A与着火点B的距离为1500（＋1）（米）
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