2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第二章第7节　函数的图象

第7节　函数的图象考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知 识 梳 理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.(3)伸缩变换y＝f(x)y＝f(ax).y＝f(x)y＝Af(x).(4)翻折变换y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.[常用结论与微点提醒]1.记住几个重要结论(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.(　　)(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同.(　　)(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称.(　　)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)解析　(1)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两者图象不同，(1)错.(2)中两函数当a≠1时，y＝af(x)与y＝f(ax)是由y＝f(x)分别进行振幅与周期变换得到，两图象不同，(2)错.(3)y＝f(x)与y＝－f(x)图象关于x轴对称，(3)错.(4)中，f(2－x)＝f[1＋(1－x)]＝f[1－(1－x)]＝f(x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，(4)正确.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2.(老教材必修1P24A7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)解析　其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成.答案　C3.(新教材必修第一册P140习题4.4T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　)解析　依题意，在2 h内血液中药物含量Q持续增加，停止注射后，Q呈指数衰减，图象B适合.答案　B4.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)A.y＝ln(1－x)    B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)    D.y＝ln(2＋x)解析　法一　设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).法二　由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.答案　B5.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)解析　∵f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝>0，排除B，C，只有D满足.答案　D6.(2020·兰州联考)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________.解析　当f(x)>0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].答案　(2，8]考点一　作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1.解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分. (2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.规律方法　作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】 分别作出下列函数的图象：(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.解　(1)先作出函数y＝lg x的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y＝|lg x|的图象，如图①实线部分.(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.考点二　函数图象的辨识【例2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数y＝在[－6，6]的图象大致为(　　)(2)(2020·深圳模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　)解析　(1)因为y＝f(x)＝，x∈[－6，6]，所以f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除选项C.当x＝4时，y＝＝∈(7，8)，排除A，D项，B正确.(2)由得－1<x<0或0<x<1，所以f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.又f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；当0<x<1时，lg |x|<0，f(x)<0，排除C；当x>0且x→0时，f(x)→0，排除D，只有B项符合.答案　(1)B　(2)B规律方法　1.抓住函数的性质，定性分析：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练2】 (1)(2020·武汉调研)函数f(x)＝的大致图象为(　　)(2)(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)解析　(1)易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－＝>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合.(2)法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.答案　(1)B　(2)D考点三　函数图象的应用　多维探究角度1　研究函数的性质【例3－1】 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是递减的.答案　C角度2　函数图象在不等式中的应用【例3－2】 (1)(2020·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝2－|x|，若关于x的不等式f(x)≥x2－x－m的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为(　　)A.[－3，－1)    B.(－3，－1)C.[－2，－1)    D.(－2，－1)(2)函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式<0的解集为________.解析　(1)在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝x2－x－m的图象如图所示.由图可知，不等式f(x)≥x2－x－m的解集中的整数解为x＝0，故解得－2≤m<－1.(2)当x∈时，y＝cos x>0.当x∈时，y＝cos x<0.结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当1<x<时，<0.又函数y＝为偶函数，所以在[－4，0]上，<0的解集为，所以<0的解集为∪.答案　(1)C　(2)∪角度3　求参数的取值范围【例3－3】 设函数f(x)＝|x2－2x|－ax－a，其中a>0，若只存在两个整数x，使得f(x)<0，则a的取值范围是______.解析　f(x)＝|x2－2x|－ax－a<0，则|x2－2x|<ax＋a，分别画出y＝|x2－2x|与y＝a(x＋1)的图象，如图所示.∵只存在两个整数x，使得f(x)<0，当x＝1时，|12－2|＝1，令2a＝1，解得a＝，此时有2个整数使f(x)<0，即x＝0或x＝1，结合图象可得a的取值范围为.答案　规律方法　1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.【训练3】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　)A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称B.函数f(x)在(－∞，1)上是增函数C.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称D.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴(2)(角度2)已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)，则不等式f(x)≥g(x)的解集是(　　)A.{x|－1<x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1<x≤1}D.{x|－1<x≤2}(3)(角度3)已知函数f(x)＝kx＋1，g(x)＝ex＋1(－1≤x≤1)，若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M，N，使得点M，N关于直线y＝1对称，则实数k的取值范围是(　　)A.    B.C.[－e，＋∞)    D.∪解析　(1)由题知，函数f(x)＝的图象是由函数y＝的图象向右平移1个单位长度得到的，可得函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A正确；函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，B错误；易知函数f(x)＝的图象不关于直线x＝1对称，C错误；由函数f(x)的单调性及函数f(x)的图象，可知函数f(x)的图象上不存在两点A，B，使得直线AB∥x轴，D错误.(2)令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图，由得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.(3)由题意知，存在x∈[－1，1]使得kx＋1＋ex＋1＝2，即ex＝－kx，所以函数y＝ex与y＝－kx的图象在[－1，1]上恒有交点，在同一平面直角坐标系中作两函数图象如图所示.当x＝－1时，k＝；当x＝1时，－k＝e，即k＝－e.综上，k∈.答案　(1)A　(2)C　(3)B直观想象——函数图象的活用直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形结合思想是典型的直观想象范例.类型1　根据函数图象特征，确定函数解析式函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要，相互转化.【例1】 (2020·长沙模拟)如图，已知函数f(x)的图象关于坐标原点对称，则函数f(x)的解析式可能是(　　)A.f(x)＝x2ln |x|    B.f(x)＝xln xC.f(x)＝    D.f(x)＝解析　根据函数图象知，f(x)为奇函数，排除A，B.对于选项D，当x>0时，f(x)＝>0，这与函数的图象不符，因此只有C项f(x)＝可能适合.有兴趣的同学可研究函数的性质作出判断(略).答案　C类型2　利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.【例2】 已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)(　　)A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析　画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值.答案　C【例3】 (2020·太原调研)已知函数g(x)＝－，h(x)＝cos πx，当x∈(－2，4)时，函数g(x)与h(x)的交点横坐标分别记为xi(i＝1，2，…，n)，则xi＝(　　)A.5  B.6  C.7  D.8解析　易知g(x)＝－的图象关于x＝1对称，h(x)＝cos πx的图象关于x＝1对称.作出两个函数的图象，如图所示.根据图象知，两函数有7个交点，其中一个点的横坐标为x＝1，另外6个交点关于直线x＝1对称，因此xi＝3×2＋1＝7.答案　C思维升华　求解图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解.类型3　利用函数的图象求解方程或不等式　若研究的方程(不等式)不能用代数法求解，但其与基本初等函数有关，常将方程(不等式)问题转化为两函数图象的交点或图象的上下位置关系，然后由图象的几何直观数形结合求解.【例4】 函数f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________.解析　f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1＝sin 2x与y2＝x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1＝sin 2x与y2＝x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.答案　2A级　基础巩固一、选择题1.(2020·深圳调研)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　)解析　由函数f(x)的图象知a>1，－1<b<0.∴g(x)＝ax＋b在R上是增函数，且g(0)＝1＋b>0.因此选项C满足要求.答案　C2.(2020·马鞍山模拟)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)＝f(|x－1|)，则函数y＝g(x)的图象关于(　　)A.直线x＝－1对称   B.直线x＝1对称C.原点对称    D.y轴对称解析　因为y＝f(|x|)的图象关于y轴对称，y＝f(|x|)的图象向右平移1个单位可得y＝f(|x－1|)的图象，所以函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称.答案　B3.(2018·浙江卷)函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是(　　)解析　设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域为R，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除选项A，B.令f(x)＝0，得sin 2x＝0，∴2x＝kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)，排除C，只有D正确.答案　D4.(2020·兰州模拟)若函数y＝f(x)的图象的一部分如图(1)所示，则图(2)中的图象所对应的函数解析式可以是(　　)A.y＝f    B.y＝f(2x－1)C.y＝f    D.y＝f解析　函数f(x)的图象先整体往右平移1个单位，得到y＝f(x－1)的图象，再将所有点的横坐标压缩为原来的，得到y＝f(2x－1)的图象.答案　B5.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于(　　)A.－    B.－C.－1    D.－2解析　由图象知得∴f(x)＝故f(－3)＝5－6＝－1.答案　C6.已知函数f(2x＋1)是奇函数，则使函数y＝f(2x)的图象成中心对称的点为(　　)A.(1，0)    B.(－1，0)C.    D.解析　f(2x＋1)是奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移个单位得到的，故关于点成中心对称.答案　C7.(2020·衡水中学调研)函数y＝(2x－1)ex的图象大致是(　　)解析　当x→－∞时，y＝(2x－1)ex<0，则C、D错误.因为y′＝(2x＋1)ex，所以当x<－时，y′<0，y＝(2x－1)ex在上单调递减，所以A正确，B错误.答案　A8.(2020·潍坊质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.若直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是(　　)A.0    B.0或－C.－或    D.0或－解析　因为f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，如图所示：由图知，直线y＝x＋a与函数f(x)的图象在区间[0，2]内恰有两个不同的公共点时，直线y＝x＋a经过点(1，1)或与曲线f(x)＝x2(0≤x≤1)相切于点A，则1＝1＋a，或方程x2＝x＋a只有一个实数根.所以a＝0或Δ＝1＋4a＝0，即a＝0或a＝－.答案　D二、填空题9.若函数y＝f(x)的图象过点(1，1)，则函数y＝f(4－x)的图象一定经过点________.解析　由于函数y＝f(4－x)的图象可以看作y＝f(x)的图象先关于y轴对称，再向右平移4个单位长度得到.点(1，1)关于y轴对称的点为(－1，1)，再将此点向右平移4个单位长度为(3，1).所以函数y＝f(4－x)的图象过定点(3，1).答案　(3，1)10.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.解析　当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).则得∴y＝x＋1.当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝，∴y＝(x－2)2－1.答案　f(x)＝11.(2020·福州质检)设函数y＝f(x)的图象与y＝的图象关于直线y＝x对称，且f(3)＋f＝4，则实数a＝________.解析　设(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，则(y，x)在函数y＝的图象上.∴x＝，则y＝logx－a.因此f(x)＝logx－a.由f(3)＋f＝4，得－1＋1－2a＝4，∴a＝－2.答案　－212.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________.解析　由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0).又y＝f(x)在R上单调递减，∴0<x＋t<3，不等式解集为(－t，3－t).依题意，t＝1.答案　1B级　能力提升13.(2020·安徽联盟联考)已知函数f(x)＝，则函数f(x)的图象大致为(　　)解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称，排除B，因为f(1)＝>0，且f(5)＝<1，所以排除C，D，选A.答案　A14.若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)的图象上；(2)点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)A.1个   B.2个   C.3个   D.4个解析　作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个.答案　B15.已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.解析　如图，作出函数f(x)＝|log3x|的图象，观察可知0<m<1<n且mn＝1.若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，从图象分析应有f(m2)＝2，∴log3m2＝－2，∴m2＝.从而m＝，n＝3，故＝9.答案　916.(2020·成都检测)已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是________.解析　函数f(x)＝的图象如图所示，不妨令a<b<c，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2 020，所以2<a＋b＋c<2 021.答案　(2，2 021)C级　创新猜想17.(多选题)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　)A.f(x＋2)是偶函数B.f(x＋2)是奇函数C.f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数D.f(x)没有最小值解析　f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误.作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误.答案　AC