2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第三章　第2讲　导数与函数的单调性

第2讲　导数与函数的单调性



一、知识梳理
函数的单调性与导数的关系
条件
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)0(f′(x)0时，h(x)>0；
当x0时，g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减．

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
答案：(1)×　(2)√
二、易错纠偏
(1)判断导数值的正负时忽视函数值域这一隐含条件；
(2)讨论函数单调性时，分类标准有误．
1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减　　　　　 B．先减后增
C．增函数 D．减函数
解析：选D.因为f′(x)＝－sin x－10恒成立，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；x∈时，
f′(x)0)，
当f′(x)>0时，解得x>，
即函数f(x)的单调递增区间为；
当f′(x)0，在(1＋a，＋∞)上，f′(x)f
C．f>f(1)>f
D．f>f>f(1)
解析：选A.因为f(x)＝xsin x，
所以f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)．
所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f.
又x∈时，得f′(x)＝sin x＋xcos x>0，
所以f(x)在上是增函数．
所以ff，故选A.
2．已知函数f(x)＝－2x2＋ln x在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．
解：f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在区间[1，2]上为单调函数，即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0，
即－4x＋≥0或－4x＋≤0在[1，2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－.
令h(x)＝4x－，因为函数h(x)在[1，2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，即≥或≤3，
解得a0，f′(x)＝.
(1)当00，f(x)单调递增，
当x∈时，f′(x)2时，00，解得x>1，故选D.
2．(2020·河北省九校第二次联考)函数y＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　　)
A．(－3，1) B．(0，1)
C．(－1，3) D．(0，3)
解析：选B.法一：令y′＝1－＋1时，函数是增函数，并且f(x)>0，选项B、D满足题意．
当xe－x，所以x(ex－e－x)>0，又ex＋e－x>0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，故选A.
优解：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以函数f(x)为奇函数．又f(1)2，所以m≤2.故选C.
6．函数y＝4x2＋的单调递增区间为 ．
解析：由y＝4x2＋，得y′＝8x－，
令y′>0，即8x－>0，解得x>.
所以函数y＝4x2＋的单调递增区间为.
答案：
7．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为 ．

解析：由f(x)图象特征可得，
f′(x)在和[2，＋∞)上大于0，在上小于0，
所以xf′(x)≥0⇔或⇔0≤x≤或x≥2，
所以xf′(x)≥0的解集为∪[2，＋∞)．
答案：∪[2，＋∞)
8．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为 (用“