2021版新高考数学一轮教师用书：第6章第2节　等差数列及其前n项和

第二节　等差数列及其前n项和[考点要求]　1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系．(对应学生用书第103页)1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n是关于n的二次函数．4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d．(5)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则＝．(6)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.(7)若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S偶－S奇＝nd，＝.(8)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；②＝.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×二、教材改编1．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　)A．　　 　B．　　 　C．2　　 　D．－A　[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故选A.]2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)A．31    B．32    C．33    D．34B　[设数列{an}的公差为d，法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32.法二：由得∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]3．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________．487　[依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a100＝－8＋99×5＝487.]4．某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为________．820　[设第n排的座位数为an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝a1＋2(n－1).由已知a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得a1＝22，则剧场总共的座位数为＝＝820.] (对应学生用书第103页)考点1　等差数列基本量的运算　解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．　1.[多选]记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)A．an＝2n－5　 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n     D．Sn＝n2－4nAD　[由题意知，解得∴an＝2n－5，Sn＝n2－4n，故选AD.]2．(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　)A．－12     B．－10C．10     D．12B　[设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]3．(2019·黄山三模)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1＝(　　)A．23     B．32C．35     D．38C　[由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a1＋×(－3)＝207，解得a1＝35，故选C.]　确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.考点2　等差数列的判定与证明　等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．　 若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.(1)求证：成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，因为Sn≠0，所以－＝2，又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.当n＝1时，a1＝不适合上式．故an＝　证明成等差数列的关键是－为与n无关的常数，同时注意求数列{an}的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n＝1的情形．[教师备选例题]数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋＞.[解]　(1)证明：∵an＋1＝，∴＝，化简得＝2＋，即－＝2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知＝2n－1，所以Sn＝＝n2，＝＞＝－.证明：＋＋…＋＝＋＋…＋＞＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.故＋＋…＋＞.　1.已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．[解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得＝2，即－＝2，所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解]　(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．考点3　等差数列的性质及应用　等差数列中解题常用的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.(3)在Sn＝中常用性质或等差中的项解题．　(1)正项等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＋a9－a＋15＝0，则S11＝(　　)A．35     B．36C．45     D．55(2)(2019·锦州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)A．35     B．42C．49     D．63(3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________．(1)D　(2)B　(3)2 020　[(1)因为{an}为正项等差数列，故a3＋a9＝2a6，所以a－2a6－15＝0，解得a6＝5或者a6＝－3(舍)，所以S11＝11a6＝11×5＝55，故选D.(2)在等差数列{an}中， S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7，14，S15－21成等差数列，所以7＋(S15－21)＝2×14，解得S15＝42.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，∴S2 020＝1×2 020＝2 020.]　以数列项或和的下角标为突破口，结合等差数列的性质灵活解答．[教师备选例题](1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)A．0　　　B．37　　　C．100　　　D．－37(2)(2019·商洛模拟)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　)A．20    B．22    C．24    D．8(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)A．63    B．45    C．36    D．27(1)C　(2)C　(3)B　[(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.(2)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(3)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，得到S9－S6＝2S6－3S3＝45.]　1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)A．39     B．20C．19     D．10B　[数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B.]2．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　)A．    B．    C．    D．C　[由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴＋＝＝＝＝＝＝.故选C.]考点4　等差数列前n项和的最值问题　求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　[一题多解]等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)A．5    B．6     C．7    D．8C　[法一：(邻项变号法)由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大．法二：(函数法)由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．法三：(函数法)根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．][母题探究]　将本例中“a1＝13，S3＝S11”改为“a1＝20，S10＝S15”，则n为何值？[解]　因为a1＝20，S10＝S15，所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－.法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0.即当n≤12时，an>0，当n≥14时，an<0.所以当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值．法二：Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－＋.因为n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值．法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.所以5a13＝0，即a13＝0.所以当n＝12或n＝13时，Sn有最大值．　本题用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图象及性质给与解得，三种方法各有优点，灵活运用是解题的关键．　1.设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为(　　)A．5     B．6C．5或6     D．11C　[由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化简得a1＝－5d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．]2．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．[解]　(1)∵{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2n－2＝2n－12.(2)法一：(函数法)由a1＝－10，d＝2，得Sn＝－10n＋×2＝n2－11n＝－，∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值－30.法二：(邻项变号法)由(1)知，an＝2n－12.所以，当n≥7时，an＞0；当n≤6时，an≤0.所以Sn的最小值为S6＝－30.