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高中第五章三角函数5.4 三角函数的图象与性质精品综合训练题

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这是一份高中第五章三角函数5.4 三角函数的图象与性质精品综合训练题，共6页。
《周期性与奇偶性》

、选择题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )

A.y=sineq \f(x,2) B.y=cs eq \f(x,2) C.y=cs x D.y=cs 2x

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数ƒ(x)=sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是( )

A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.π D.eq \f(3π,2)

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=4sin(2x＋π)的图象关于( )

A.x轴对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.直线x=eq \f(π,2)对称

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知a∈R，函数f(x)=sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )

A.0 B.1 C.－1 D.±1

LISTNUM OutlineDefault \l 3 下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )

A.y=cs|2x| B.y=|sin x|

C.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)) D.y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=eq \f(|sin x|1－sin x,1－sin x)的奇偶性为( )

A.奇函数

B.既是奇函数也是偶函数

C.偶函数

D.非奇非偶函数

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数f(x)=3sin(eq \f(2,3)x＋eq \f(15π,2))是( )

A.周期为3π的偶函数 B.周期为2π的偶函数

C.周期为3π的奇函数 D.周期为eq \f(4π,3)的偶函数

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x＋\f(π,3)))(k＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )

A.10 B.11 C.12 D.13

、填空题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数y=sin(ωx＋eq \f(π,4))的最小正周期为2，则ω的值为 .

LISTNUM OutlineDefault \l 3 设函数f(x)=sin eq \f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)= .

LISTNUM OutlineDefault \l 3 函数ƒ(x)=3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期为eq \f(2π,3)，则ƒ(π)=________.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 关于x的函数f(x)=sin (x＋φ)有以下说法：

①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；

②存在φ，使f(x)是偶函数；

③存在φ，使f(x)是奇函数；

④对任意的φ，f(x)都不是偶函数.

其中错误的是 .(填序号)

、解答题

LISTNUM OutlineDefault \l 3 判断下列函数的奇偶性.

(1)ƒ(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))cs(π＋x)；

(2)ƒ(x)=eq \r(1＋sin x) ＋eq \r(1－sin x).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；

(2)f(x)=lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；

(3)f(x)=eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sin x).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)=1－sin x，

求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π))时f(x)的解析式．

LISTNUM OutlineDefault \l 3 已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)=－eq \f(1,f（x）)(f(x)≠0).

(1)求证：函数f(x)是周期函数；

(2)若f(1)=－5，求f(f(5))的值.

答案解析

LISTNUM OutlineDefault \l 3 \s 1 答案为：D；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：C；

解析：要使函数ƒ(x)=sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ=kπ，k∈Z.故选C.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：B；

解析：y=4sin(2x＋π)=－4sin 2x，奇函数图象关于原点对称.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；

解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)=sin(－x)－|a|=－f(x)=－sin x＋|a|，

所以|a|=0，从而a=0，故选A.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；

解析：y=cs|2x|是偶函数，y=|sin x|是偶函数，y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))=cs 2x是偶函数，y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))=－sin 2x是奇函数，根据公式求得其最小正周期T=π.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；

解析：由题意知，当1－sin x≠0，即sin x≠1时，

y=eq \f(|sin x|1－sin x,1－sin x)=|sin x|，所以函数的定义域为{x|x≠2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}，

由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：A；

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：D；

解析：∵T=eq \f(2π,\f(k,4))≤2，即k≥4π，∴正整数k的最小值是13.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：±π；

解析：∵T=eq \f(2π,|ω|)=2，∴|ω|=π，∴ω=±π.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：0；

解析：∵f(x)=sin eq \f(π,3)x的周期T=eq \f(2π,\f(π,3))=6，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)=335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)

＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)

=335eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3)＋sin \f(2,3)π＋sin π＋sin \f(4,3)π＋sin \f(5,3)π＋sin 2π))

＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋

f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)

=335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)

=sin eq \f(π,3)＋sin eq \f(2,3)π＋sin π＋sin eq \f(4,3)π＋sin eq \f(5,3)π=0.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：－eq \f(3,2)；

解析：由已知eq \f(2π,ω)=eq \f(2π,3)得ω=3，

∴ƒ(x)=3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,3)))，∴ƒ(π)=3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π－\f(π,3)))=3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))=－3cseq \f(π,3)=－eq \f(3,2).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 答案为：①④；

解析：当φ=0时，f(x)=sin x是奇函数.当φ=eq \f(π,2)时，f(x)=cs x是偶函数.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)x∈R，

ƒ(x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))cs(π＋x)=－sin 2x·(－cs x)=sin 2xcs x.

∴ƒ(－x)=sin(－2x)cs(－x)=－sin 2xcs x=－ƒ(x).

∴该函数ƒ(x)是奇函数.

(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，

∴1＋sin x≥0,1－sin x≥0.

∴ƒ(x)=eq \r(1＋sin x) ＋eq \r(1－sin x)的定义域为R.

∵ƒ(－x)=eq \r(1＋sin－x)＋eq \r(1－sin－x)=eq \r(1－sin x) ＋eq \r(1＋sin x)=ƒ(x)，

∴该函数是偶函数.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)显然x∈R，f(x)=cseq \f(1,2)x，

∵f(－x)=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))=cseq \f(1,2)x=f(x)，

∴f(x)是偶函数.

(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－sin x＞0，,1＋sin x＞0，))得－1＜sin x＜1，

解得定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，

∴f(x)的定义域关于原点对称.

又∵f(x)=lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，

∴f(－x)=lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]

=lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)=－f(x)，

∴f(x)为奇函数.

(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，

∴x∈R且x≠2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.

∵定义域不关于原点对称，

∴该函数是非奇非偶函数.

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π))时，3π－x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，

∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)=1－sin x，

∴f(3π－x)=1－sin(3π－x)=1－sin x.

又∵f(x)是以π为周期的偶函数，

∴f(3π－x)=f(－x)=f(x)，

∴f(x)的解析式为f(x)=1－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,2)π，3π)).

LISTNUM OutlineDefault \l 3 解：(1)证明：∵f(x＋2)=－eq \f(1,f（x）)，

∴f(x＋4)=－eq \f(1,f（x＋2）)=－eq \f(1,－\f(1,f（x）))=f(x).

∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期.

(2)∵4是f(x)的一个周期.

∴f(5)=f(1)=－5，

∴f(f(5))=f(－5)=f(－1)=eq \f(－1,f（－1＋2）)=eq \f(－1,f（1）)=eq \f(1,5).