初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试练习

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试练习，共12页。试卷主要包含了1 圆有关的性质， 下列四个命题等内容，欢迎下载使用。



一、选择题（本大题共8道小题）


1. 下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为( )


A.1B.2C.3D.4





2. 如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )





A. eq \r(10) B. 2eq \r(3) C. eq \r(13) D. 3eq \r(2)





3. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径， QUOTE = QUOTE .若∠C=110°，则∠ABC的度数等于( )





A.55°B.60°C.65°D.70°





4. 如图，☉O的直径AB垂直于弦CD.垂足是点E，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD的长为( )





A.6 QUOTE B.3 QUOTE C.6D.12





5. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是eq \(CD,\s\up8(︵))上一点，且eq \(DF,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为( )


A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°








6. 如图，在半径为 QUOTE 的☉O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB=75°，AB=6，AE=1，则CD的长是( )





A.2 QUOTE B.2 QUOTE C.2 QUOTE D.4 QUOTE





7. 如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝32°，则∠OAC等于( )


A. 64° B. 58° C. 72° D. 55°








8. 如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( )


A. 3eq \r(3) B. 4eq \r(3) C. 5eq \r(3) D. 6eq \r(3)








二、填空题（本大题共7道小题）


9. 如图，点A，B，C在☉O上，BC=6，∠BAC=30°，则☉O的半径为 .








10. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2 QUOTE ，则☉O的半径是 .








11. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD= 度.








12. 如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝________度．








13. 如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是eq \(BAC,\s\up8(︵))上一点，则∠D＝________．











14. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100 cm，下雨前水面宽为60 cm，一场大雨过后，水面宽为80 cm，则水位上升了 cm.








15. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，CD＝6，则BE＝________．








三、解答题（本大题共3道小题）


16. 如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，求证：MO∥BC.




















17. 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D.E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC.


(1)求证：AC平分∠DAO.


(2)若∠DAO＝105°，∠E＝30°.


①求∠OCE的度数．


②若⊙O的半径为2eq \r(2)，求线段EF的长．




















18. 如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上(不与点A，B重合)，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E.射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G.设∠GAB＝α，∠ACB＝β，∠EAG＋∠EBA＝γ.


(1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据


猜想：β关于α的函数表达式，γ关于α的函数表达式，并给出证明；


(2)若γ＝135°，CD＝3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．




















































































































答案





一、选择题（本大题共8道小题）


1. 【答案】C








2. 【答案】C 【解析】延长AO交BC于点D，连接OB.由AB＝AC得点A在线段BC的垂直平分线上，因而可得AD⊥BC，所以BD＝3，不难得出AD＝BD＝3，于是OD＝AD－OA＝2，在Rt△ODB中，OB＝eq \r(OD2＋DB2)＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13).








3. 【答案】A [解析]连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°.


∵ QUOTE = QUOTE ，∴∠CAB= QUOTE ∠DAB=35°.


∵AB是直径，∴∠ACB=90°，


∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A.











4. 【答案】A [解析]∵∠A=22.5°，


∴∠COE=45°，


∵☉O的直径AB垂直于弦CD，


∴∠CEO=90°，CE=DE.


∵∠COE=45°，


∴CE=OE= QUOTE OC=3 QUOTE ，


∴CD=2CE=6 QUOTE ，故选A.








5. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝75°，∵＝，∴∠BAC＝∠DCF＝25°，∴∠E＝∠ADC－∠DCF＝50°.








6. 【答案】C [解析]过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB，OD，OE，





如图所示，则DF=CF，AG=BG= QUOTE AB=3，


∴EG=AG-AE=2.


在Rt△BOG中，


OG= QUOTE = QUOTE =2，∴EG=OG，


∴△EOG是等腰直角三角形，


∴∠OEG=45°，OE= QUOTE OG=2 QUOTE .


∵∠DEB=75°，∴∠OEF=30°，


∴OF= QUOTE OE= QUOTE .


在Rt△ODF中，DF= QUOTE = QUOTE = QUOTE ，∴CD=2DF=2 QUOTE .故选C.








7. 【答案】B 【解析】∵∠D与∠AOC同对弧AC，∴∠AOC＝2∠D＝2×32°＝64°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，在△OAC中，根据三角形内角和为180°，可得∠OAC＝eq \f(1,2)(180°－∠AOC)＝eq \f(1,2)×(180°－64°)＝58°.














8. 【答案】B 【解析】如解图，延长CO交⊙O于点A′，连接A′B.设∠BAC＝α，则∠BOC＝2∠BAC ＝2α，∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∴α＋2α＝180°，∴α＝60°.∴∠BA′C＝∠BAC＝60°，∵CA′为直径，∴∠A′BC＝90°，则在Rt△A′BC中，BC＝A′C·sin∠BA′C＝2×4×eq \f(\r(3),2)＝4eq \r(3).











二、填空题（本大题共7道小题）


9. 【答案】6 [解析]连接OB，OC.∵∠BOC=2∠BAC=60°，OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB=BC=6，故答案为6.











10. 【答案】2 [解析]连接OC，则OA=OC，


∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.


∵OB⊥CD，CD=2 QUOTE ，∴CH= QUOTE ，∴OH=1，


∴OC=2.








11. 【答案】20 [解析]如图，连接DO，∵CO⊥AB，


∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，


∵OD=OC，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB，


∴∠BAD=20°.











12. 【答案】35 【解析】∵OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠B，∠C＝∠OAC，∵∠AOB＝40°，∴∠B＝∠OAB＝70°，∵CD∥AB，∴∠BAC＝∠C，∴∠OAC＝∠BAC＝eq \f(1,2)∠OAB＝35°.








13. 【答案】40° 【解析】AC是⊙O的直径⇒∠ABC＝90°⇒


eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1( ∠A＝90°－50°＝40°,∠A和∠D都是\(BC,\s\up8(︵))所对的圆周角)) ⇒∠D＝∠A＝40°.








14. 【答案】10或70 [解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.





由垂径定理得:BC= QUOTE AB=30 cm.


在Rt△OBC中，OC= QUOTE =40(cm).


当水位上升到圆心以下且水面宽80 cm时，


圆心到水面距离= QUOTE =30(cm)，


水面上升的高度为:40-30=10(cm).


当水位上升到圆心以上且水面宽80 cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).


综上可得，水面上升的高度为10 cm或70 cm.


故答案为10或70.








15. 【答案】 4－eq \r(7) 【解析】如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝8，CD＝6，∴CE＝DE＝3，OC＝OB＝4. 在Rt△OCE中，OE＝eq \r(42－32)＝eq \r(7)，∴BE＝OB－OE＝4－eq \r(7).











三、解答题（本大题共3道小题）


16. 【答案】


证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵MP为⊙O的切线，


∴∠PMO＝90°，∵MP∥AC，∴∠P＝∠CAB，


∴∠MOP＝∠B,


故MO∥BC.








17. 【答案】


【思维教练】(1)证明AC是∠DAO的角平分线即证明∠DAC＝∠OAC，由圆的性质知OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，由切线性质得OC⊥CD，即OC∥AD，得∠OCA＝∠CAD，即可得证；(2)①△OCE内角和为180°，∠E已知，由(1)OC∥AD得∠COE＝∠DAO，即可求解；②EF＝GE－FG，由∠OCE＝45°，OC＝2eq \r(2)，考虑构造直角三角形OGC，求出CG，即FG，GE在Rt△OGE中，OG＝CG, ∠E＝30°，得出GE，从而求出EF.


(1)证明：∵直线CD与⊙O相切，


∴OC⊥CD.





又∵AD⊥CD.


∴AD∥OC.


∴∠DAC＝∠OCA.


又∵OC＝OA，


∴∠OAC＝∠OCA，


∴∠DAC＝∠OAC.


∴AC平分∠DAO.(3分)


(2)解：①∵AD∥OC，


∴∠EOC＝∠DAO＝105°.


∵∠E＝30°，


∴∠OCE＝45°.(6分)


②作OG⊥CE于点G，可得FG＝CG.


∵OC＝2eq \r(2)，∠OCE＝45°，


∴OG＝2，


∴FG＝2.


∵在Rt△OGE中，∠E＝30°，


∴GE＝2eq \r(3).


∴EF＝GE－FG＝2eq \r(3)－2.(10分)








18. 【答案】


【思维教练】(1)观察表格可猜想β＝90°＋α，γ＝180°－α.连接BG，由直径所对的圆周角为90°和圆内接四边形的对角和为180°即可得出β＝90°＋α；由题干条件易知△EBD≌△EGD，∠EBC＝∠ECB，再由三角形的外角和定理和β＝90°＋α，利用角度之间的转化即可得出结论；(2)由(1)的结论可以得出α＝∠BAG＝45°，β＝∠ACB＝135°，∴∠ECB＝45°，∠CEB＝90°，△ECD、△BEC、△ABG都是等腰直角三角形，由CD的长，可得出BE和CE的长，再由题干条件△ABE的面积是△ABC的面积的4倍可得出AC的长，利用勾股定理在△ABE中求出AB的长，再利用勾股定理在△ABG求出AG的长，即可求出半径长．


①


(1)①β＝90°＋α，γ＝180°－α


证明：如解图①，连接BG，


∵AG是⊙O的直径，∴∠ABG＝90°，


∴α＋∠BGA＝90°，(1分)


又∵四边形ACBG内接于⊙O，


∴β＋∠BGA＝180°，


∴β－α＝90°，


即β＝90°＋α；(3分)


②∵D是BC的中点，且DE⊥BC，


∴△EBD≌△ECD，∴∠EBC＝∠ECB，


∵∠EAG＋∠EBA＝γ，


∴∠EAB＋α＋∠EBC＋∠CBA＝γ，


∵∠EAB＋∠CBA＝∠ECB，


∴2∠ECB＋α＝γ，(4分)


∴2(180°－β )＋α＝γ，


由①β＝90°＋α代入后化简得，γ＝180°－α；(6分)


(2)如解图②，连接BG，


②


∵γ＝135°，γ＝180°－α，


∴α＝45°，β＝135°，


∴∠AGB＝∠ECB＝45°，(8分)


∴△ECD和△ABG都是等腰直角三角形，


又∵△ABE的面积是△ABC的面积的4倍，


∴AE＝4AC，∴EC＝3AC，(9分)


∵CD＝3，∴CE＝3eq \r(2)，AC＝eq \r(2)，∴AE＝4eq \r(2)，(10分)


∵∠BEA＝90°，


∴由勾股定理得，AB＝eq \r(BE2＋AE2)＝eq \r(（3\r(2)）2＋（4\r(2)）2)＝eq \r(50)＝5eq \r(2)，(11分)


∴AG＝eq \r(2)AB＝eq \r(2)×5eq \r(2)＝10，


∴r＝5.(12分)








α
30°
40°
50°
60°
β
120°
130°
140°
150°
γ
150°
140°
130°
120°