高中数学人教版新课标A选修4-5第三讲 柯西不等式与排序不等式综合与测试课堂检测

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第三讲测评(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列不等式中一定成立的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|≥C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2解析由柯西不等式可知,只有C项正确.答案C2.设xy>0,则的最小值为(　　)A.-9 B.9 C.10 D.0解析=9.答案B3.设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-1+…+anb1,T=a1c1+a2c2+…+ancn,K=a1b1+a2b2+…+anbn的关系是(　　)A.S≤T≤K B.K≤T≤SC.T≤K≤S D.K≤S≤T解析根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,则S≤T≤K.答案A4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是(　　)A. B. C. D.2解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.答案A5.用柯西不等式求函数y=的最大值为(　　)A. B.3 C.4 D.5解析由柯西不等式,得函数y==4,当且仅当时,等号成立,故函数y的最大值为4.故选C.答案C6.已知=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为(　　)A.A<B B.A>B C.A≤B D.A≥B解析A=a2+b2=1·(a2+b2)=(a2+b2)≥=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,等号成立.答案D7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是(　　)A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M<N解析取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.答案B8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是(　　)A.5 B.6 C.8 D.9解析由柯西不等式可得x+≥=9,当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.答案D9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为(　　)A.2a2+b2 B.2ab C.(2a+b)2 D.4ab解析=(sin2α+cos2α)≥=(2a+b)2,当且仅当sinα=cosα时,等号成立.故的最小值为(2a+b)2.答案C10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为(　　)A.1 B.9 C.36 D.18解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)·≥(1+2+3)2,∵x+2y+3z=1,∴2≥36,∴≥18,∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.答案D11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=acos C+bcos B+ccos A,则p,q的大小关系是(　　)A.p≥q B.p=qC.p≤q D.无法确定解析不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC.则由排序不等式可得q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA, ①acosC+bcosB+ccosA≥acosC+bcosA+ccosB, ②由①+②得2(acosC+bcosB+ccosA)≥acosB+bcosA+bcosC+ccosB+ccosA+acosC,即2(acosC+bcosB+ccosA)≥2R(sinAcosB+cosAsinB)+2R(sinBcosC+cosBsinC)+2R(sinCcosA+cosCsinA),整理,得acosC+bcosB+ccosA≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]=R(sinA+sinB+sinC)==p.答案C12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若△ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为(　　)A. B. C. D.解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为　　　　　. 解析由柯西不等式可得()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.答案14.若a,b,c>0,则　　　　　a+b+c. 解析不妨设a≥b≥c>0,则ab≥ac≥bc>0,>0,则由排序不等式可得≥ab·+ac·+bc·=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).答案≥15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,则+…+的最小值为　　　　　. 解析不妨设0<a1≤a2≤…≤a100,则0<≤…≤,由排序不等式可得+…+≥a1·+a2·+…+a100·=100,即+…+的最小值为100.答案10016.边长为a,b,c的三角形,其面积为,外接圆半径为1,若s=,t=,则s与t的大小关系是　　　　　　　　. 解析三角形的面积S=,即abc=1,所以t=ab+bc+ca,t2=(ab+bc+ca)≥()2=s2,又a,b,c>0,所以s≤t.答案s≤t三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.证明由柯西不等式可得()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12),因此()2≤2(2a+2b+2)=8,故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证≥a2+b2+c2.证明由柯西不等式可得(b2+c2+a2)=(b2+c2+a2)≥=(a2+b2+c2)2,又因为a2+b2+c2>0,所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.解u=2x+y=2·x+·2y.由柯西不等式可得[x2+(2y)2]≥,即(2x+y)2≤×1,所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=±,y=±.所以u的最大值是,此时x=,y=;u的最小值是-,此时x=-,y=-.20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b.证明不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc,由排序不等式可得alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc,alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc,以上两式相加可得2alga+2blgb+2clgc≥(b+c)lga+(a+c)lgb+(a+b)lgc,即lga2a+lgb2b+lgc2c≥lgab+c+lgba+c+lgca+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(ab+c·ba+c·ca+b),故a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求a2+b2+c2的最小值.解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式,得(4+9+1)≥=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2≥.当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.22.导学号26394062(本小题满分12分)如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(xP,yP),则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-xP-yP)2,所以2S=+(1-xP-yP)2.由柯西不等式,得[+(1-xP-yP)2](12+12+12)≥(xP+yP+1-xP-yP)2,即6S≥1,所以S≥,当且仅当,即xP=yP=时,等号成立.故当xP=yP=时,面积和S最小,且最小值为,此时点P坐标为.