2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 章末复习

章末复习

一、向量的线性运算

1.

2.向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0.

3.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.

例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(　　)

A.(7，－2)   B.(1，－2)

C.(1，－3)   D.(7,2)

答案　A

解析　∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，

∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2).

(2)设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则(　　)

A.＝－＋

B.＝－

C.＝－

D.＝－＋

答案　D

解析　∵＝3，∴－＝3(－)，

∴2＝3－，∴＝－.

反思感悟　向量线性运算的基本原则和求解策略

(1)基本原则

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.

(2)求解策略

①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.

②首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.

③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.

跟踪训练1　在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)

A.－   B.－

C.＋   D.＋

答案　A

解析　作出示意图如图所示.

＝＋＝＋

＝×(＋)＋(－)

＝－.

二、向量的数量积运算

1.向量的夹角及垂直问题

(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系.

(2)两个向量的夹角公式(θ为两个非零向量a，b的夹角)：

cos θ＝＝.

2.向量的长度(模)与距离的问题

求向量的模主要有以下两种方法：

(1)利用公式|a|2＝a2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；

(2)利用公式|a|＝将其转化为实数运算，使问题得以解决.

3.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.

例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).

(1)用k表示数量积a·b；

(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.

解　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，

得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，

∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.

∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.

∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，

∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，

∴a·b＝＝(k>0).

(2)a·b＝＝≥×2＝，当且仅当k＝1时等号成立，

此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，

又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.

反思感悟　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，

a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量).

(2)求向量的夹角和模的问题

①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.

②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)

cos θ＝＝ .

跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为        .

答案　

解析　由⊥知·＝0，

即·＝(λ＋)·(－)

＝(λ－1)·－λ2＋2

＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，

解得λ＝.

三、余弦定理、正弦定理

1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积.

2.解斜三角形共包括四种类型：

(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；

(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；

(3)已知三边(先用余弦定理求角)；

(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数).

3.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.

例3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n.求A.

解　方法一　∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，

∴B＝，A＋C＝.

∵m∥n，∴2b2＝3ac，

∴由正弦定理，得2sin2B＝3sin Asin C，

即sin Asin C＝，

∴sin Asin＝，

∴sinA＝，

∴sin Acos A＝cos2A，

∴cos A＝0或tan A＝，∴A＝或A＝.

方法二　2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝，

由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，

即b2＝a2＋c2－ac.(*)

∵m∥n，∴2b2＝3ac，∴b2＝ac.

将b2＝ac代入到(*)中，

得2a2－5ac＋2c2＝0，

解得a＝2c或c＝2a.

当a＝2c时，b＝c，cos A＝＝0，

∴A＝；

当c＝2a时，b＝a，cos A＝＝，

∴A＝.

综上，A＝或A＝.

反思感悟　通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等.

利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换.

跟踪训练3　在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.

(1)求C的大小；

(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值.

解　(1)由正弦定理，得＝＝，即tan C＝.

又∵C∈(0，π)，∴C＝.

(2)·＝||||cos C＝abcos C＝4，

且cos C＝cos ＝，∴ab＝8.

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C

＝(a＋b)2－2ab－2abcos

＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.

∴c＝2.

1.已知平面向量＝(1,2)，＝(3,4)，则向量等于(　　)

A.(－4，－6)   B.(4,6)

C.(－2，－2)   D.(2,2)

答案　C

解析　＝－＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，故选C.

2.设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)

A.－  B.－  C.  D.

答案　A

解析　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，

又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.

3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)

A.－   B.

C.1   D.－1

答案　A

解析　由平面向量基本定理，化简＝＋＝＋＝－＋(＋) ＝－，

所以λ＝，μ＝－，即λ＋μ＝－.

4.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(t,2－t)，a－b与a垂直，则|a－b|的最小值为(　　)

A.  B.1  C.  D.2

答案　B

解析　由题意知a－b与a垂直，

则(a－b)·a＝0，可得a·b＝a2＝1.

又由|a－b|＝

＝＝，

所以当t＝1时，|a－b|取得最小值1.

5.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝bcos C＋ccos B，且a＝1，B＝120°，则b＝        .

答案　

解析　∵c＝bcos C＋ccos B，

∴由正弦定理可得sin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C

＝sin(B＋C)＝sin A，

∴c＝a＝1，

∵B＝120°，

∴由余弦定理可得，b＝＝＝.