2020届二轮复习函数的值域的常见求法教案（全国通用）

     【例1】求函数的值域.

【解析】    故函数的值域是.

【点评】（1）对于某些特殊的数的性质大家要熟悉，如算术平方根具有双重非负性，即：被开方数的非负性和值的非负性；是非负数；是一个非负数，是一个正数.掌握这些数的性质后，可以很快得到函数的值域.（2）不等式的性质在求函数的值域中经常用到，所以不等式的性质要熟练掌握.

 【反馈检测1】求函数的值域.

【例2 】求函数的值域.

【点评】对于对称的分式函数，常利用分式的除法分离成常数和一个分式函数的和，再求函数的值域.

【反馈检测2 】求函数的值域.

【例3】【2017北京，文11】已知，，且，则的取值范围是__________．

【点评】（1）对于二次函数，常用配方法求函数的值域.先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数的值域.（2）有时函数的配方计算量比较大，所以可以不配方，直接计算抛物线的对称轴，画出抛物线的草图，截取定义域内的那一段观察，即可得到函数的值域.（3）本题注意不能把函数的定义域看作是，必须根据求出满足的条件，再和求交集得到函数的定义域.

【反馈检测3】求函数的值域.

【例4】求函数的值域.

【解析】反解得  即

因为反函数的定义域为 ，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数的值域为.

【点评】（1）当函数是分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),一般可以利用反函数法求函数的值域，当然，其它一些能反解出的函数，也可以选择反函数法求函数的值域.（2）利用反函数法求函数的值域，利用的知识点是“反函数的定义域是原函数的值域”.

【反馈检测4】求函数值域.

【例5】求函数的值域.

【点评】（1）对形如的函数，可以考虑换元，消掉根式，化成一个二次函数.（2）在任何地方换元，都要注意新元的取值范围，它就是新函数的定义域.(3)本题也有简单一点的方法，由于函数在定义域上增函数，函数在定义域上也是增函数，所以原函数在定义域上是增函数，所以时，函数取最小值. @

【例6 】已知满足不等式.

（1）求的取值范围；

（2）求函数的最小值.

【解析】（1）

【点评】（1）当函数中某一个复杂的式子反复出现时，我们可以考虑换元，使书写简单，使函数式子形式更简单明了.如果后面是指数，也可以换元.（2）换元时一定要注意新元的范围,注意数等价转化的思想.

【例7】求函数的值域.

【点评】（1）由于，所以当已知中同时有

或者同时有时，可以考虑换元，化成一个二次函数.（2）换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. （3）本题显示出换元建立新函数转化化归的好处，本来一个函数有两个变量，不好处理，但是通过换元，变成了一个我们熟悉的一元二次函数，大大地提高了解题效率.

【例8】已知是圆上的点，试求的值域.

【解析】由题得，设

则，即  故，所以函数的值域为.

【点评】当已知条件可以化为时，可以设，实行三角换元，这样可以优化解题，提高解题效率.

【反馈检测5】若求函数的值域.

高中数常见题型解法归纳及反馈检测第02讲：函数的值域（最值）

的常见求法1(直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法)参考答案

【反馈检测1答案】

【反馈检测1详细解析】由题得  所以函数的定义域   ， ，

即函数的值域为

【反馈检测2答案】

【反馈检测3答案】

【反馈检测3详细解析】由题得

，所以函数的定义域为.

所以，所以函数的值域为.

【反馈检测4答案】.

【反馈检测4详细解析】由原函数式可得：则其反函数为，其定义域为，

故所求函数的值域为.

【反馈检测5答案】